Aniq va tabiiy fanlar metodikasi kafedrasi

Chiziqlarning perpendikulyarligi - perpendikulyarlik shartlari

Perpendikulyarlikning xususiyatlarini bilishingiz kerak, chunki ko'pgina muammolar keyingi yechim uchun uni tekshirishga to'g'ri keladi. Perpendikulyarlik topshiriq shartida allaqachon muhokama qilingan yoki isbotdan foydalanish zarur bo'lgan holatlar mavjud. Perpendikulyarlikni isbotlash uchun chiziqlar orasidagi burchak to'g'ri bo'lishi kifoya.
To'g'ri to'rtburchaklar koordinatalar tizimining ma'lum tenglamalari bilan ularning perpendikulyarligini aniqlash uchun chiziqlar perpendikulyarligi uchun zarur va etarli shartni qo'llash kerak. Keling, iborani ko'rib chiqaylik.
Teorema 1
a va b chiziqlar perpendikulyar bo'lishi uchun to'g'ri chiziqning yo'nalish vektori berilgan b chiziqning yo'nalish vektoriga nisbatan perpendikulyar bo'lishi zarur va etarli.
Isbotning o'zi chiziqning yo'naltiruvchi vektorini aniqlashga va chiziqlarning perpendikulyarligini aniqlashga asoslanadi.
Isbot 1
a va b chiziqlarni aniqlovchi tekislikdagi to'g'ri chiziqning berilgan tenglamalari bilan to'rtburchak dekart koordinatalar tizimi O x y kiritilsin. a va b chiziqlarning yo'nalish vektorlarini a → va b → deb belgilaymiz. a va b chiziqlar tenglamasidan a → va b → vektorlarning perpendikulyarligi zarur va yetarli shart hisoblanadi. Bu a → = (a x , a y) va b → = (b x , b y) vektorlarining skalyar ko‘paytmasi nolga teng bo‘lganda va yozuv a → , b → = a x b x + a y b y = 0 bo‘lgandagina mumkin bo‘ladi. Tekislikdagi O x y to'rtburchaklar koordinata sistemasida bloklangan a va to'g'ri chiziqlarning perpendikulyarligi uchun zarur va yetarli shart a → , b → = a x b x + a y b y = 0 ekanligini bilib olamiz, bunda a → = (a x , a y) va b → = b x, b y - a va b chiziqlarning yo'nalish vektorlari.
Shart yo'nalish vektorlarining koordinatalarini topish zarur bo'lganda yoki berilgan a va b chiziqlar tekisligida chiziqlarning kanonik yoki parametrik tenglamalari mavjud bo'lganda qo'llaniladi.
1-misol
O x y to'rtburchak koordinatalar sistemasida uchta A (8 , 6) , B (6 , 3) , C (2 , 10) nuqtalar berilgan. A B va A C chiziqlar perpendikulyar yoki yo'qligini aniqlang.
Qaror
A B va A C chiziqlar mos ravishda A B → va A C → yo‘nalish vektorlariga ega. Birinchidan, A B → = (- 2 , - 3) , A C → = (- 6 , 4) ni hisoblab chiqamiz. A B → va A C → vektorlari nolga teng vektorlarning skalyar ko'paytmasining xossasidan perpendikulyar ekanligini olamiz.
A B → , A C → = (- 2) (- 6) + (- 3) 4 = 0
Ko'rinib turibdiki, zarur va etarli shart bajarilgan, ya'ni A B va A C perpendikulyar.
Javob: chiziqlar perpendikulyar.
2-misol
Berilgan x - 1 2 = y - 7 3 va x = 1 + l y = 2 - 2 · l chiziqlar perpendikulyar yoki yo'qligini aniqlang.
Qaror
a → = (2 , 3) ​​- berilgan chiziqning yo'nalish vektori x - 1 2 = y - 7 3 ,
b → = (1 , - 2) - chiziqning yo'nalish vektori x = 1 + l y = 2 - 2 · l .
a → va b → vektorlarining skalyar ko'paytmasini hisoblashga o'tamiz. Ifoda yoziladi:
a → , b → = 2 1 + 3 - 2 = 2 - 6 ≠ 0
Mahsulotning natijasi nolga teng emas, vektorlar perpendikulyar emas degan xulosaga kelishimiz mumkin, ya'ni chiziqlar ham perpendikulyar emas.
Javob: chiziqlar perpendikulyar emas.
a va b chiziqlar perpendikulyarligining zarur va yetarli sharti a → , b → = a x b x + a y b y + a z b z = 0 ko‘rinishida yoziladigan uch o‘lchamli fazo uchun qo‘llaniladi, bunda a → = (a x, a y, a z) va b → = (b x, b y, b z) - a va b chiziqlarning yo'nalish vektorlari.
3-misol
x 2 \u003d y - 1 \u003d z + 1 0 va x \u003d l y \u003d 1 + 2 l z = 4 l tenglamalar bilan berilgan uch o'lchovli fazoning to'rtburchaklar koordinata tizimidagi chiziqlar perpendikulyarligini tekshiring.
Qaror
To'g'ri chiziqlarning kanonik tenglamalaridan olingan maxrajlar to'g'ri chiziqning yo'naltiruvchi vektorining koordinatalari deb hisoblanadi. Parametrik tenglamadan yo'nalish vektor koordinatalari koeffitsientlardir. Bundan kelib chiqadiki, a → = (2 , - 1 , 0) va b → = (1 , 2 , 4) berilgan chiziqlarning yoʻnalish vektorlari. Ularning perpendikulyarligini aniqlash uchun vektorlarning skalyar mahsulotini topamiz.
Ifoda a → , b → = 2 1 + (- 1) 2 + 0 4 = 0 ga aylanadi.
Vektorlar perpendikulyar, chunki mahsulot nolga teng. Kerakli va etarli shart bajarilgan, ya'ni chiziqlar ham perpendikulyar.
Javob: chiziqlar perpendikulyar.
Perpendikulyarlikni tekshirish perpendikulyarlik uchun boshqa zarur va etarli shartlar asosida amalga oshirilishi mumkin.
Teorema 2
Tekislikdagi a va b chiziqlar a chiziqning normal vektori b vektorga perpendikulyar bo'lganda perpendikulyar hisoblanadi, bu zarur va etarli shartdir.
Isbot 2
Bu shart chiziqlar tenglamalari berilgan chiziqlarning normal vektorlarining koordinatalarini tez topish imkonini berganda qo'llaniladi. Ya'ni, agar A x + B y + C \u003d 0 ko'rinishidagi to'g'ri chiziqning umumiy tenglamasi, x a + y b \u003d 1 ko'rinishdagi segmentlardagi to'g'ri chiziq tenglamasi, to'g'ri chiziq tenglamasi mavjud bo'lsa. y \u003d k x + b ko'rinishidagi qiyalik bilan chiziq, vektorlarning koordinatalarini topish mumkin.
4-misol
3 x - y + 2 = 0 va x 3 2 + y 1 2 = 1 chiziqlar perpendikulyar yoki yo'qligini aniqlang.
Qaror
Ularning tenglamalariga asoslanib, to'g'ri chiziqlarning normal vektorlarining koordinatalarini topish kerak. Biz n a → = (3 , - 1) 3 x - y + 2 = 0 chiziq uchun normal vektor ekanligini olamiz.
x 3 2 + y 1 2 = 1 tenglamani 2 3 x + 2 y - 1 = 0 ko'rinishga soddalashtiramiz. Endi normal vektorning koordinatalari aniq ko'rinadi, biz buni ushbu shaklda yozamiz n b → = 2 3 , 2 .
n a → = (3 , - 1) va n b → = 2 3, 2 vektorlari perpendikulyar bo'ladi, chunki ularning skalyar ko'paytmasi oxir-oqibat 0 ga teng qiymat beradi. Biz n a → , n b → = 3 2 3 + (- 1) 2 = 0 ni olamiz.
Kerakli va yetarli shart bajarildi.
Javob: chiziqlar perpendikulyar.
Tekislikdagi a chiziq qiyalik tenglamasi y = k 1 x + b 1 va b - y = k 2 x + b 2 chiziq yordamida aniqlanganda, normal vektorlar koordinatalariga ega bo'ladi (k 1, -). 1) va (k 2 , - 1) . Perpendikulyarlik shartining o'zi k 1 · k 2 + (- 1) · (- 1) = 0 ⇔ k 1 · k 2 = - 1 ga kamayadi.
5-misol
y = - 3 7 x va y = 7 3 x - 1 2 chiziqlar perpendikulyar yoki yo'qligini aniqlang.
Qaror
y = - 3 7 x to'g'ri chiziq - 3 7 ga teng qiyalikka ega, y = 7 3 x - 1 2 - 7 3 to'g'ri chiziq.
Nishab koeffitsientlarining mahsuloti - 1, - 3 7 · 7 3 = - 1 qiymatini beradi, ya'ni chiziqlar perpendikulyar.
Javob: berilgan chiziqlar perpendikulyar.
Tekislikdagi chiziqlarning perpendikulyarligini aniqlash uchun boshqa shart qo'llaniladi.
Teorema 3
Tekislikdagi a va b chiziqlarning perpendikulyarligi uchun chiziqlardan birining yo'nalishi vektorining ikkinchi chiziqning normal vektori bilan kollinearligi zarur va etarli shartdir.
Isbot 3
Shart bitta chiziqning yo'nalishi vektorini va ikkinchisining normal vektorining koordinatalarini topish mumkin bo'lganda qo'llaniladi. Boshqacha qilib aytganda, bitta to'g'ri chiziq kanonik yoki parametrik tenglama bilan, ikkinchisi esa to'g'ri chiziqning umumiy tenglamasi, segmentlardagi tenglama yoki qiyalikli to'g'ri chiziq tenglamasi bilan beriladi.
6-misol
Berilgan x - y - 1 = 0 va x 0 = y - 4 2 chiziqlar perpendikulyar yoki yo'qligini aniqlang.
Qaror
X - y - 1 = 0 chiziqning normal vektori n a → = (1 , - 1) koordinatalariga ega, b → = (0 , 2) esa x 0 = y - 4 chiziqning yo'nalish vektori ekanligini olamiz. 2018-03-22
Bu n a → = (1, - 1) va b → = (0, 2) vektorlari kollinear emasligini ko'rsatadi, chunki kollinearlik sharti bajarilmaydi. n a → = t · b → tengligi to'g'ri bo'ladigan t soni yo'q. Shunday qilib, chiziqlar perpendikulyar emas degan xulosaga keladi.