Aniqmas integral

17-Ma’ruza: Boshlang‘ich funksiya va aniqmas integralning ta’rifi, xossalari.
Integrallashning asosiy usullari: o‘zgaruvchini almashtirish va bo‘laklab integrallash.
Reja:
1. Boshlang‘ich funksiya va aniqmas integral
2. Asosiy integrallar jadvali
3. Aniqmas integral xossalari.
4. Integrallash usullari


Tayanch tushunchalar
Boshlang‘ich funksiya, integral, aniqmas integral. Asosiy integrallar jadvali. Aniqmas integral xossalari. Integrallash usullari: yoyish, o‘zgaruvchini almashtirish va bo‘laklab integrallash.


1. Boshlang‘ich funksiya va aniqmas integral
[a, b] kesmada aniqlangan y=f(x) funksiya uchun ushbu kesmaning barcha nuqtalarida
F’(x)=f(x)
tenglik bajarilsa, u holda F(x) funksiya shu kesmada f(x) funksiyaning boshlang‘ich funksiyasi deyiladi.
Masalan: funksiyaning hosilasi ga teng. Shuning uchun, funksiya cos3x funksiyaning boshlang‘ich funksiyasi bo‘ladi.
Teorema (boshlang‘ich funksiya mavjudligi haqida).
Har bir uzluksiz funksiya, bir-biridan ixtiyoriy o‘zgarmasga farq qiluvchi cheksiz ko‘p boshlang‘ich funksiyalarga ega.
Boshlang‘ich funksiyaning umumiy F(x)+C ko‘rinishi berilgan y=f(x) funksiyaning aniqmas integrali deyiladi, bu yerda C – ixtiyoriy o‘zgarmas son va

kabi belgilanadi. Bunda - integral belgisi, f(x) - integral osti funksiyasi, f(x)dx - integral ostidagi ifoda, x - integrallash o‘zgaruvchisi.
2. Asosiy integrallar jadvali
Asosiy integrallar jadvali quyidagi formulalardan iborat:
1.  ; 2.  ;
3.  ; 4.  ;

5.  ; 6.  ;

7.  ; 8.  ;

9.  ; 10.  ;

11.  ; 12.  ;

13.  ; 14.  ;

15.  .

3. Aniqmas integral xossalari.
Aniqmas integral quyidagi xossalarga ega:
1) aniqmas integralning hosilasi integral ostidagi funksiyaga teng:

2) aniqmas integralning differensiali integral belgisi ostidagi ifodaga teng:

3) uzluksiz differensiallanuvchi funksiyaning differensialidan olingan aniqmas integral shu funksiya bilan ixtiyoriy o‘zgarmas C ning yig‘indisiga teng:

4) o’zgarmas A ko‘paytuvchini integral belgisi tashqarisiga chiqarish mumkin:

5) chekli sondagi funksiyalarning algebraik yig‘indisidan olingan aniqmas integral shu funksiyalarning har biridan olingan aniqmas integrallarning algebraik yig‘indisiga teng:





4. Integrallash usullari
Integrallashning eng asosiy usullarini qarab chiqamiz: yoyish, o‘zgaruvchini almashtirish va bo‘laklab integrallash.
1) Yoyish usuli. Bu usul integral ostidagi funksiyani, har biri jadval integraliga keladigan, bir nechta funksiyalar yig‘indisiga yoyishga asoslanadi.
Misollar: Integrallarni toping: a)  ; b) 

a) 

b) 

2) Aniqmas integralda o‘zgaruvchini almashtirish.

Jadvalda qatnashmagan integralni hisoblash kerak bo‘lsin. x ni t erkli o‘zgaruvchining biror differensiallanuvchi funksiyasi orqali ifodalaymiz: , bunga teskari funksiyasi mavjud bo‘lsin, u holda va bo‘lib, integral jadvaliga mos keladigan integral hosil qilamiz.
Misollar:
1)  ning integralini toping. O’zgaruvchini almashtiramiz:

natijada, .
2)  ning integralini toping.
belgilash kiritamiz. U holda x-2=t², x=t²+2, dx=2tdt bo‘ladi.
Natijada,
.
3) Bo‘laklab integrallash. Integrallash quyidagi

formula yordamida amalga oshiriladi. Bu yerda u, v – differensialla-nuvchi funksiyalar.
Bu formulani qo‘llash uchun, integral ostidagi ifoda ikki qismga ajratiladi va birinchi qismini u, qolgan qismini esa dv deb olinadi, natijada berilgan integralga nisbatan oson integrallanadigan integral hosil bo‘ladi.
Misollar: Integralni toping:
u=lnx, dv=x²dx belgilashlar kiritamiz. U xolda hosil bo‘ladi. Formulani qo‘llash natijasida,
.
Misol. Integralni toping:
u=arctgx, dv=dx deb olamiz. Unda

O’z-o‘zini tekshirish uchun savollar

1. 
   Berilgan funksiyaning boshlang‘ich funksiyasi deb nimaga aytiladi?
   
2. 
   Berilgan funksiyaning aniqmas integrali deb nimaga aytiladi?
   
3. 
   Aniqmas integralning asosiy xossalari nimadan iborat? Uni ifo-dalang.
   
4. 
   Integrallashning qanday asosiy usullarini bilasiz?
   
5. 
   Integrallashda yoyish usulining mohiyati nima?
   
6. 
   Aniqmas integralda o‘zgaruvchini almashtirish usulining mazmu-nini aytib bering? Misol keltiring.
   
7. 
   Bo‘laklab integrallash formulasini keltirib chiqaring.
   
8. 
   Asosiy integrallar jadvalini yoddan yozib bering?