Anvarov shuhrat

1.5 Keltirilmaydigan ko’phad ildizlari haqida teoremalar
Endi keltirilmaydigan ko’phadlarning ildizlari haqidagi ba’zi teoremalarni ko’rib o’taylik.
1-teorema: sonlar maydonidagi birinchidan yuqori darajali keltirilmaydigan ko’phadning bu maydon elementidan iborat ildizlari mavjud emas.
Isbot: Agar ko’phad maydonning elementidan iborat ildizga ega desak,

tenglik bajarilib, demak, ko’phad maydonda keltiriladigan bo’lib qoladi. Agar maydonda 1-darajali

ko’phadni olsak, uning ildizi shu maydonning elementidan iborat. Endi sonlar maydonidagi umumiy ildizga ega bo’lgan hamma ko’phadlar to’plamini bilan belgilaylik. Ravshanki, bu to’plamning eng kichik darajali ko’phadi bor. Uni bilan belgilaymiz.
2-teorema: to’plamning har bir ko’phadi ga bo’linadi.
Isbot: ma’lumki, bu ikki ko’phad uchun maydondagi va ko’phadlar mavjud bo’lib,

tenglik bajariladi, bunda ning darajasi ko’phadnikidan kichik. qiymatda
va
bo’lgani uchun, ekanligi qilib Chiqadi. Bundan ko’phadning ham ildizga ega bo’lishi va demak, to’plamga kirishi ko’rinadi. Shu sababli, bo’lishi mumkin emas, Chunki shart bo’yicha to’plamning eng kichik darajali ko’phadidir, shuning uchun bo’lib, (1.5.1) tenglik

ko’rinishni oladi. ning keltirilmaydigan ko’phad ekanini ko’rish yengil. Haqiqatan, aks holda,

tenglik bajarilib, undan masalan, ni topamiz. Demak, darajasi ko’phadnikidan kichik ko’phad to’plamga kiradigan bo’lib Chiqadi. Ammo bunday bo’lishi mumkin emas. to’plamga kiruvChi boshqa har bir keltirilmaydigan ko’phad ga bo’lingani uchun, u ko’phad dan faqat o’zgarmas ko’paytuvchi bilan farq qiladi. SHunday qilib, keltirilmaydigan ko’phad to’plamda o’zgarmas ko’paytuvchi aniqligi bilan yagonadir.

3-teorema: maydonda keltirilmaydigan ko’phad karrali ildizlarga ega emas.
Isbot: Agar

ko’phad karrali ildizga ega deb olsak, u ildiz

hosila uchun karrali bo’ladi. Demak, va ko’phadlar umumiy ildizga ega bo’lib, ular bitta to’plamga kiradi. Endi, keltirilmaydigan bo’lgani uchun u to’plamning eng kichik darajali ko’phadni ifodalaydi va 2-teoremaga asosan, ko’phad ga bo’linadi. Shu sababli, deyish mumkin emas, dan esa

va degan natijaga kelamiz. Ammo ma’lumki, keltirilmaydigan ko’phad har vaqt o’zgarmas sondan farqlidir. Bu zidlik teoremani isbotlaydi.
Bizga kompleks sonlar maydonidagi -darajali

ko’phad va uning

ildizlari berilgan bo’lsin. U vaqtda ko’phadning quyidagi ko’paytuvchilarga yoyilmasini hosil qilamiz

Bu yoyilmaning ko’paytuvchilarini bir-biriga va ga ko’paytirib Chiqsak

Bu ko’phadni (1.5.2) bilan solishtirib, quyidagini topamiz:





Bundan:





(1.5.3) tengliklar koeffitsientlari bilan ildizlari orasidagi bog’lanishlarni ifodalaydi va odatda Vieta formulalari deyiladi. Bu tengliklarning chap tomonlarida mos ravishda hamma ildizlarning yig’indisi, ildizlarni ikkitadan ko’paytirib tuzilgan yig’indi, ildizlarni uchtadan ko’paytirib tuzilgan yig’indi va hokazo, nihoyat ildizlarning ko’paytmasi turadi.
Misollar:
1)
ko’phadning ildizlari 1,2,3 ekanini e’tiborga olib, koeffitsientlarini topaylik. Bosh koeffitsient 1 ga teng bo’lgani uchun, (1.5.2) formuladan ushbuni hosil qilamiz:

Demak,

2) To’rtinchi darajali ko’phad uchun 1 va 3 sonlar ikki karrali ildizlardan iborat. Bu ko’phadni topaylik. Ushbu ko’phadni olamiz:

(1.5.2) tengliklarga muvofiq:




Agar desak,

hosil bo’ladi.