Anvarov shuhrat

II - BOB. Tenglamalarni yechish usullari
2.1 Algebraik tenglama tushunchasi va u haqida teoremalar
Endi biz algebra fanida alohida o’rin tutgan algebraik tenglama tushunchasiga o’tamiz.
1-ta’rif: Chap tomoni sonlar maydonidagi - darajali ko’phaddan iborat ushbu:

ifoda sonlar maydonidagi bir noma’lumli – darajali algebraik tenglama deyiladi.
Agar (2.1.1) tenglamaning chap tomonidagi ko’phadni qisqacha shaklda belgilasak, bu tenglamani ko’rinishda ham yozish mumkin.
(2.1.1) algebraik tenglamani nol ko’phad bilan aralashtirish yaramaydi. Nol ko’phadda hamma koeffitsientlar har vaqt nolьga teng, (2.1.1) algebraik tenglamada esa

koeffitsientlarning hammasi birdaniga nolga teng bo’la olmaydi. Bunda ham

algebraik tenglamaning koeffitsientlari, bosh koeffitsient, esa ozod had deyiladi, tenglamaning hadlari va esa ( holda) bosh had deb ataladi.
2-ta’rif: algebraik tenglamaning chap tomonidagi ko’phadni nolga aylantiruvchi qiymat bu tenglamaning ildizi deyiladi.
Ta’rifdan ma’lumki, tenglamaning ildizlari – xuddi chap tomondagi ko’phad ildizlaridan iborat. Shu sababli – darajali algebraik tenglama xuddi ta ildizga ega. Bunda ham ko’phadning oddiy va karrali ildizlari tenglamaning oddiy va karrali ildizlarini ifodalaydi.
Algebraik tenglama eng kamida birinchi darajali bo’lishi mumkin, chunki nolinchi darajali

ko’phadni nolga tenglashtirib bo’lmaydi. algebraik tenglamaning ildizi chap tomonni nolga aylantirgani uchun qiymatda tenglamadan yoki tenglik kelib chiqadi. Bu holda biz son tenglamani qanoatlantiradi deymiz. Agar qiymat tenglamaning ildizlaridan farqli bo’lsa, . Bu holda, son tenglamani qanoatlantirmaydi deymiz.
Masalan:
tenglamaning ildizlari 1,2 va 3 dir, chunki bu qiymatlarda:

ayniyatlar hosil bo’ladi, misol uchun qiymat tenglamani qanoatlantirmaydi, chunki bu qiymatda kelib chiqadi. nolь ko’phad tenglama emas, balki ko’rinishda ayniyatdir. Algebraik tenglamaning ildizlarini topish bu tenglamani yechish deb ataladi. Bizga ma’lumki, tenglamaning bir tomonidan 2-tomoniga istalgan hadlarni qarama-qarshi ishora bilan o’tkazish mumkin, (2.1.1) tenglamada hamma hadlar tenglamaning chap tomoniga o’tkazilgan. Agar (2.1.1) algebraik tenglamaning ildizlari

bo’lsa, uni

yoki

ga qisqartirib

shaklda yozish mumkinligi ravshan.
Algebraik tenglamaning eng soddasi hisoblangan ikki hadli tenglamalarni yechish usuli bilan tanishamiz. Ushbu

ko’rinishdagi algebraik tenglama ikki hadli tenglama deb ataladi, bunda – noldan farqli istalgan son. Ravshanki, bu tenglamani ning – darajali istalgan ildizi qanoatlantiradi, chunki

Ikki hadli tenglama – darajali bo’lgani uchun, ta ildizga ega. Bundan ma’lumki, (2.1.2) tenglamaning hamma ildizlari huddi ning ta – darajali ildizlaridan iborat.
Endi, ning – darajali ildizlari har xil, ya’ni ikki hadli tenglama karrali ildizlarga ega emas. ni trigonometrik

shaklga keltirib, (2.1.2) tenglamaning ildizlarini bizga ma’lum bo’lgan quyidagi formula bilan topamiz:


(2.1.2) tenglama bilan bir qatorda:

tenglamani ham tekshiramiz. (2.1.2) tenglamaning ildizlaridan istalgani, masalan, ni olib

deymiz va bu qiymatni (2.1.2) ga qo’yamiz:

bundan,

ga qisqartirib, xuddi (2.1.3) tenglamani hosil qilamiz. (2.1.3) tenglamaning ildizlari quyidagi formula bilan topiladi:


Agar bu qiymatlarni (2.1.4) ga qo’ysak, ning qiymatlarini
hosil qilamiz. (2.1.3) tenglamaning ildizlarini quyidagi formula bilan hisobladik. Haqiqatan, (2.1.3) tenglamaning istalgan ildizini olib,

ni (2.1.2) ga qo’ysak, ayniyat hosil qilamiz:

Demak, (2.1.2) tenglamaning hamma ildizlarini topish uchun – uning bitta ildizini (2.1.3) tenglamaning hamma ildizlariga ko’paytirib chiqish kerak. Boshqacha aytganda, ning – darajali ildizlarini hosil qilish uchun bitta ildizini birning – darajali hamma ildizlariga ko’paytirib chiqish lozim.
Masalan, ning uchinchi darajali ildizlaridan bittasi ga teng, ning hamma – darajali ildizlarini topish uchun, tenglamani olamiz, (2.1.5) formulaga ko’ra:



Demak,

tenglamaning hamma ildizlari quyidagilardan iborat:

(2.1.3) ikki hadli tenglamaning ildizlari bir necha xossaga ega:

1. 
   (2.1.3) tenglamaning istalgan ikki ildizini bir-biriga ko’paytirsak, yana shu tenglamaning ildizi hosil bo’ladi. Chindan ham va ni (2.1.3) tenglamaning ildizlari desak,
   

va

ga asosan,

bo’ladi.

2. 
   (2.1.3) tenglamaning istalgan ikki ildizini bir-biriga bo’lsak, yana shu tenglamaning ildizi hosil bo’ladi. Haqiqatan
   

3. 
   (2.1.3) tenglamaning istalgan ildizini har qanday butun (musbat, nol va manfiy) darajaga ko’tarsak, yana tenglamaning ildizi xosil bo’ladi. Chindan ham, ni har qanday butun son deb hisoblab, ushbuni topamiz:
   

4. 
   Darajalarning ushbu:
   

cheksiz ketma-ketligi (2.1.3) tenglamaning ildizlaridan iborat. Lekin, (2.1.3) tenglama faqat ta ildizga ega bo’lgani uchun, bu qatorda albatta bir-biriga teng darajalar bor.
Masalan,

bo’lsin. Bundan

Demak, shunday musbat butun sonlar mavjudki, ular uchun

tenglik o’rinli. Bu shartni qanoatlantiruvchi butun musbat sonlar cheksiz ko’p, chunki istalgan butun musbat sonni ifodalaydi. Ya’ni ifodalasa,

tenglik ham bajariladi. Lekin, bunday butun sonlar orasida albatta eng kichigi bor.
1-ta’rif: Agar shartni qanoatlantiruvchi butun musbat sonlarning eng kichigi bo’lsa, ildiz ko’rsatkichga qarashli deyiladi.
Shunday qilib, ildizni ko’rsatkichga qarashli desak, ta’rifga asosan,

tenglik bajarilib, lekin dan kichik har bir musbat son uchun

5. 
   Agar ildiz ko’rsatkichga qarashli bo’lsa,
   

qator har xil darajalardan iborat bo’ladi. Chindan ham

desak,

kelib chiqadi, ammo

bo’lgani uchun, bunday tenglik bajarilishi mumkin emas.

6. 
   ko’rsatkichga qarashli ildizning istalgan butun (musbat, nol va manfiy) darajasi (2.1.6) darajalarning bittasiga teng. Haqiqatan, ni ga bo’lib, ushbuni hosil qilamiz:
   

Demak,

bunda xuddi (2.1.6) darajalarning bittasidir. Agar xususiy holda

bo’lsak, albatta ga bo’linadi. Haqiqatan,

ga asosan,

tenglikdan

kelib chiqadi, ammo so’nggi tenglik

shartda bajarilmaydi, shu sababli bo’lishi kerak. Demak, (2.1.7) tenglikdan

ni hosil qilamiz. (2.1.3) tenglamaning ildizi ko’rsatkichga qarashli deganimizda, ning dan katta bo’lmasligi ravshandir, chunki

shu sababli bo’lsa,

tenglikni qanoatlantiruvchi butun musbat sonlarning eng kichigi bo’lmas edi. Demak, har vaqt .
2-ta’rif: (2.1.3) tenglamaning ko’rsatkichga qarashli har bir ildizi boshlang’ich ildiz deyiladi.
Agar ildiz (2.1.3) tenglamaning ko’rsatkichga qarashli, ya’ni boshlang’ich ildizi bo’lsa, ni 1 ning ko’rsatkichga qarashli ya’ni boshlang’ich – darajali ildizi deb ham ataladi. (2.1.3) tenglamaning ildizi – boshlang’ich ildiz. Haqiqatan, (2.1.5) formulaga asosan,

Buni – daraja ko’rsatkichga ko’tarsak,

hosil bo’ladi. Ma’lumki faqat yoki eng kamida qiymatda , ya’ni bajariladi. Demak, bu so’nggi tenglikni qanoatlantiruvchi butun musbat sonlarning eng kichigi ekan. Shu sababli, – boshlang’ich ildiz. (2.1.3) tenglamaning da boshqa yana boshlang’ich ildizlari bolishi mumkin.
Teorema: ( 2.1.3 ) tenglamaning


tenglik kelib chiqadi. Demak, ga asosan, tenglikdan

kelib chiqadi.

1. 
   Zaruriyligi: Agar boshlang’ich ildizni bildirsa, bo’ladi. Bu holda (2.1.8) tenglikdan kelib chiqadi va demak va o’zaro tub sonlarni ifodalaydi.
   
2. 
   Etarliligi: va o’zaro tub, ya’ni bo’lsa, (2.1.8) tenglikdan ni hosil qilamiz. Demak, boshlang’ich ildiz bo’ladi.
   

ning qiymatlari dan kichik e’tiborga olib, quyidagi xulosaga kelamiz: dan kichik va bilan o’zaro tub nechta butun musbat son mavjud bo’lsa, (2.1.3) tenglamaning shuncha boshlang’ich ildizi mavjud. Bu boshlang’ich ildizlarning soni, odatda, bilan belgilanadi. Sonlar nazariyasida ifoda Eyler funktsiyasi deyiladi va ning kanonik yoyilmasi

bo’lsa,

formula isbot qilinadi.
Misol:
tenglikning boshlang’ich ildizlarini topaylik. Avval boshlang’ich ildizlarning sonini aniqlaymiz: ildizi boshlang’ich bo’lishi uchun va sonlarning o’zaro tub bo’lishi zarur va yetarlidir.
Isbot: Faraz qilaylik ildiz ko’rsatkichga qarashli bo’lsin, ya’ni

yoki

ga muvofiq

Endi, ildiz ko’rsatkichga qarashli bo’lgani uchun, 6-xossaga muvofiq, albatta ga bo’linadi:

va ning eng katta umumiy bo’luvchisini bilan belgilasak, va tengliklarga ega bo’lamiz. Bunda va – o’zaro tub sonlar. Bu qiymatlarni (2.1.11) ga qo’yib va ga qisqartirsak:

So’nggi tenglik ning ga bo’linishini ko’rsatadi, lekin va o’zaro tub bo’lgani uchun, ga bo’linadi. SHunday qilib, – bir tomondan,

tenglikni qanoatlantiruvchi va ikkinchii tomondan ga bo’linuvchi eng kichik son bo’lishi lozim. Bu shartlarga bo’ysunadigan son ning o’zidir, chunki u o’z-o’ziga bo’linadi va

tenglikdan bo’lgani uchun, (2.1.9) ga asosan,

12 dan kichik va 12 bilan o’zaro tub sonlar 1,5,7,11 dir. Shu sababli, boshlang’ich ildizlar quyidagilardan iborat: