Arkfunksiyalar qatnashgan tenglama hamda ularni yechish usullari

ARKFUNKSIYALAR QATNASHGAN TENGLAMALAR

O‘quvchi arkfunksiyalar qatnashgan tenglamalarni yechish uchun quyidagi ma’lumotlarga ega bo‘lishi zarur:

arcsin x  arccosx  ^ ;
2
arctgx  arcctgx  ^ ;
2

 ^  arcsinx  ^ ;
2 2
0  arccosx   ;

• 
  ^  arctgx  ^ ;
  

2 2
0  arcctgx   .

Agar
| x | 1
bo‘lsa, u holda
sin(arcsin
x)  x,
cos(arccos x)  x
tengliklar, agar

x  R
bo‘lsa, u holda tg (arctgx )  x,
ctg (arcctgx )  x
tengliklar o‘rinli bo‘ladi.

Quyidagi jadvalda teskari trigonometrik funksiyalar uchun sodda tenglamalarning

yechimlari to‘plami keltirilgan (bunda
a  R ^):

Tenglama turi	Tenglama yechimlari
arcsinx  a (| a |  2)	x  sin a
arcsinx  a (| a |  2)	
arccos x  a (0  a   )	x  cosa

arccos x  a (a [0, ])	
arctgx  a (| a |  2)	x  tg a
arctgx  a (| a |  2)	
arcctg x  a (0  a   )	x  ctg a
arcctg x  a (a (0, ))	

Faraz qilaylik,
P()  biror ratsional funksiya,
y()  esa biror teskari

trigonometrik funksiya bo‘lsin. Ushbu
_{P( y(x))  0} ko’rinishdagi tenglama quyidagi
y(x)  y_i

sodda tenglamaga keltiriladi. Bu yerda
y_i  soni
P(t)  0
tenglamaning yechimlari.

1. 
   misol: Ushbu tenglamani yeching:
   

2arcsin² x  arcsinx  6  0 ^.

Yechish: Bu tenglamani yechishdan oldin
P(t)  2t ²  t  6, y(x)  arcsinx

ekanligini e’tirof etamiz. Hosil bo‘lgan kvadrat uchhad
y₁  2,
y₂  1,5
nollarga

egadir. Shu sababli berilgan tenglama quyidagi ikkita sodda tenglamalarga ajraladi:
arcsin x  2, arcsin x  1,5 ^.

Bunda
2  ^ ,
2
| 1,5 | ^
2
bo‘lganligi uchun berilgan tenglama yagona
x  sin1,5

yechimga egadir.
Endi teskari trigonometrik funksiyalarni o‘z ichiga olgan murakkabroq tenglamani yechishga doir misol qaraymiz.

2. 
   misol: Ushbu tenglamani yeching:
   

arcsin x  arcsin2x  ^{ . (1)}
3

Yechish: _x noma’lumning qabul qiladigan qiymatlar to‘plami
[ ¹ ; ¹]
2 2
oraliqdir.

arcsin 2x   ,
arcsin x  
belgilashlarni kiritib, quyidagini hosil qilamiz:

sin  2x,  [ 
2;
2];
(2)

sin   x,  [ 
6;
6].

Yangicha belgilashlarda (1) tenglama ushbu ko’rinishda yoziladi:

    ^
3
   ^
3
 .
(3)

(2) shartlardan _ va
^  
3
burchaklar
[ 
2;
_2] oraliqqa tegishli ekanligi kelib

chiqadi. Demak (3) tenglama ushbu tenglamaga ekvivalent:

Ushbu
sin  sin(^
3
  )
 2x 
sin ^
3
cos
  sin 
cos ^ .
3
(4)

sin²   cos²   1
tenglikda (2) shartlar hisobga olinsa,
cos  
kelib chiqadi. Demak, (4) tenglamani ushbu ko‘rinishda yozish mumkin:

2x  ³
2
1  x ²  ^x 
2

4x 

 x 

5x 

3 1  x ² .

So‘nggi tenglamaning ikkala qismini kvadratga ko‘tarib, bu irratsional tenglamaning yagona
_{x } 1 3
2 7
yechimini topamiz. _x ning topilgan bu qiymati berilgan (1) tenglamaning yechimidir.
Agar tenglamada turli arkfunksiyalar yoki bitta arkfunksiya turli argumentlar bilan qatnashsa, u holda tabiiyki tenglamaning har ikkala tomonini biror trigonometrik funksiyaga ta’sir ettirib berilgan tenglamani unga ekvivalent bo‘lgan tenglamaga keltirish mumkin. Agar trigonometrik funksiya sifatida tangens yoki kotangens tanlansa, u holda bu funksiyalarning aniqlanish sohasiga kirmaydigan yechimlar qolib ketishi mumkin. Shu sababli tenglamaning har ikkala qismining tangensini yoki kotangensini hisoblashdan oldin dastlabki tenglamaning bu funksiyalarning aniqlanish sohasiga kirmaydigan yechimlari yo‘q ekanligiga ishonch hosil qilish kerak. Bunday usul bilan yechiladigan tenglamaga misol keltiramiz.

3. 
   misol: Ushbu tenglamani yeching:
   

arcsin6x  arcsin6
_{3x  } ^ . (5)
2

Yechish: (5)-tenglamada
arcsin6
_3x ni tenglamaning o‘ng tomoniga o‘tkazamiz

va hosil bo‘lgan tenglamaning har ikkala tomonini sinusinu hisoblaymiz:

yoki
sin(arcsin6x)  sin( ^
2
 arcsin6


3x)

yoki
6x  cos(arcsin


6x  
108x)

.

Ko‘rinib turubdiki, bu tenglik
x  0
bo‘lgandagina o‘rinli bo‘lishi mumkin. Har ikkala

tomonini kvadratga ko‘tarib
144x²  1
tenglamani hosil qilamiz. Ko‘rinib turibdiki

x   ¹
12
sonlari bu tenglamaning yechimlari bo‘la oladi.
x  0
shartga asosan
x   ¹
12

ildiz (5) tenglamaning yechimi bo‘ladi.

Arkfunksiyalar argumentida o‘zgaruvchini saqlovchi ba’zi tenglamalar berilgan tenglamaning o‘ng va chap tomonlarining umumiy aniqlanish sohasida ayniyatni hosil qiladi. Bunday tenglamalarni yechish jarayoni bu funksiyalarning aniqlanish sohasini topish bilan tugatiladi.
Quyidagi tenglamani yuqorida bayon qilingan usuldan foydalanib yechamiz.

4. 
   misol: Ushbu tenglamani yeching:
   

2 arccos x  arcsin( 2x ) . (6)

Yechish:

y  arccosx
funksiya ta’rifiga ko‘ra

x  cos y,
0  y   ,
| x | 1

ni hosil qilamiz. x uchun topilgan bu ifodani (6) ning o‘ng tomoniga qo‘yib

arcsin( 2 cos y sin y)  arcsin(sin
2 y)

ni hosil qilamiz.
y  arcsin x
funksiyaning ta’rifiga ko‘ra

arcsin(sin2 y)  2 y,
( ^
4
 y  ^ )
4

tenglik o‘rinlidir. Shunday qilib, (6) tenglamaning chap tomoni barcha


y 
[0, ]
4
lar

uchun uning o‘ng tomoniga tengdir. Dastlabki o‘zgaruvchilarga qaytib hosil qilamiz.
x [
² ;1] ni
2