Asosiy belgilashlar

II.BOB. INTERPOLYATSION KUBATUR FORMULALAR.
2.1. Interpolyatsion kvadratur formulalar uchun algoritmva dasturlar.
Buyuk matematik Gauss kvadratura nazariyasiga butunlay yangi va juda muhim g’oya’ni kiritdiki, u amaliy analizning tub sohalari rivojlanishi uchun asos bo’lib qoldi. Faraz qilaylik, ba’zi bir ^{y =} f ( x) integrallanuvchi funksiya ^x o’zgaruvchining uzliksiz oraliqni xar bir nuqtasida emas balkim, shu oraliqda yotuvchi maxsus tanlangan ^x₁ ^{, x} ₂ ^{, x} ₃ ^{,..., x}_n nuqtalarda berilgan bo’lsin. Biz bu yerda faqat chekli oraliqni qaraymiz. Shuning uchun uni darhol normalab
qo’yamiz.
Oraliqni
^{1 < x < 1} _(2.1)
ga keltiramiz va ^x₁ ^{, x} ₂ ^{, x} ₃ ^{,..., x}_n nuqtalar ham qaysikim, ^{y = f ( x)} funksiya berilgan oraliqdategishli bo’lsin. Umuman olganda n ning kattabo’lishidan qat’iy
nazar,
^y ₁ ^{= f ( x} ₁ ⁾ _, ^y ₂ ^{= f ( x} ₂ ⁾ _{, …,} y_n = f ( x_n ) _(2.2)
ordinatalar f ( x) funksiyani aniqlash uchun yetarli emas. Lekin biz ^{f ( x)} funksiyani oraliq nuqtalari uchun integrallashga harakat qilamiz. Shu maqsadda ^x ning darajali funksiyalaridan foydalanamiz. Biz shunday ⁿ 1 darajali ^P_{n 1} ^(x) ko’phad topishimiz mumkinki , u ham ^x_n nuqtalarda ^y_n qiymatga ega bo’ladi. Odatdachekliayirmalarni hisoblashda berilgan x ^{= x}_n nuqtalartengtaqsimlangan
qilib taqsimlanadi.
Gaussning g’oyasi shundan iboratki nuqtalarning holatini oldindan belgilamasdan o’shanday sondagi ordinatalar bilan yuqori aniqlikka erishish mumkinligi kabi, bu yerda nuqtalar shunday joylashtiriladiki, natijada eng yaxshi natijalar olinadi. Bu yo’lda Gauss kvadratur formulalarning nafaqat eng yuqori aniqlikka erishdi, balkim bu jarayon ko’phadlar bilan teng taqsimli
interpolyatsiyalashda xavfdan ham xolidir. Qaysikim bu xavf u davrda ham ma’lumemasdi. Faraz qilaylik x ^{= x}_k interpolyatsiyalashnuqtalaritamomanerkin bo’lsin va biz bu nuqtalarda ^y ₁ ^{, y} ₂ ^{, y} ₃ ^{,..., y}_n qiymatlarni qabul qiladigan
^{U = P}_{n- 1} ^{( x)} ko’phadni topamiz. Bu masalani hal qiladigan formula Lagranjning

interpolyatsion formulasi sifatidama’lum. U
F_n ( x) = ( x - x ₁ )( x - x ₂ )...( x - x_n ) _.
^{fundamental ko’phadni qurishga va uni ketma-ket xar bir}
bo’lishga asoslangandir.
Shunday qilib biz quyidagixossalarga egabo’lgan
^Fn ^{( x)}
Q
(i=1,2,…,n),

'
_i ( x) =
F_n ( x_i )( x - x_i )
^x
ko’phadni oldik . ^Q_i ^{( x)
= x} _i nuqtadan tashqari barcha


(2.3)
ⁿ ta ikki hadliga
(2.4)
^{x = x}_k nuqtalarda

nolga teng,
ya’ni


^{x = x}_i da esa birga teng. Agar
(1, агар ^Q_i ^{( x} _k ^{) = f} _ik ⁼_〈
l0 <sup>, агар


f</sup>_ik - Kroneker simvolini kiritsak,


(
^{i = k}
i 丰 k

,
2.5)

Bu holda qurish mumkinki ,
^P_{n- 1} ^{(x) = y} ₁ ^Q ₁ ^{(x) + y} ₂ ^Q ₂ ^{(x) + ... + y}_n ^Q _n ^(x) _{, (2.6)}

ko’phad qo’yilgan shartni qanoatlantiradi: ya’ni x = x^k nuqtalarda y
^{(k = 1, 2 ,...,} n) qiymatlarni qabul qiladi .
^P_{n- 1} ^{( x)} - ko’phadning yagonaligi shu dalildan kelib chiqadiki ,


^{y = y} _k


^P
_{-
n 1} ^{( x)}

ko’phad bilan ikkinchi gipotetik P_{n- 1} ( x) ko’phad o’rtasidagi ayirma birga x = x _k

nuqtalarda nolga aylanadi . Lekin ^P_{n- 1} ^{( x) - P}_{n- 1} ^{( x)} ayirma ham yana ^{n - 1}
darajali ko’phad bo’lib, u esa aynannolga aylanmasdan n ^- 1 tadantub ildizga ega

bo’lmaydi: bu esa ^P_{n- 1} ^{( x) = P}_{n- 1} ^{( x)}
ekanligini bildiradi.
^{Endi agar biz Pn- 1 ( x) ni y} = f ( x) ^{funksiyaga yetarlicha yaqinlashgan deb}
hisoblasak,


^{A = ∫ Pn- 1 ( x)dx = Σ y k ∫ Q k ( x)dx , (2.7)}
_{- 1} ^{k = 1} _{- 1}
hisoblasak, amaliyotda noma’lum ^{f ( x)} egrilik ostidagi yuzaga ega bo’lamiz. Berilgan ayrim taqsimlangan ^{x = x}_k nuqtalar uchun ^Q _k ^(x) ko’phadlar bir
qiymatli aniqlangan va shuninguchun ham
1
_∫ ^Q _k ^{( x)dx = 负}_{k , (2.8)}
- 1
aniq integrallar ba’zi bir sonli qiymatlarga ega bo’ladiki, qaysikim ular uchun

jadvallartuzish mumkin.
^{Bizni qiziqtiruvchi yuza uchun bu qiymatlar}
funksiyaningtabiatiga bog’liq emas.
Oldingi x = x ⁱ nuqtalarni o’zgartirmasdan yangi
^{nuqtani qo’shamiz. Qo’shimcha x - x}_n+1 ^{ikki hadnikiritib,}
_tamoman ^{y = f ( x)}
x = xⁿ⁺¹ qo’shimcha
^Q _n+1 ^(x) - qo’shimcha

ko’phadni xosil qilamiz. (2.4) ta’rifdan ^Q_i ^{( x)} uchun kelib chiqadiki, ^Q _n+1 ^(x)

ko’phad ^F_n ^{( x)} ko’phadga proporsionaldir, qaysikim ko’paytuvchi qisqarib ketadi. Xuddi shunday yangi
ko’paytiriladigan vaznli ^负_n+1 vaznli ko’paytuvchi
1
_∫ ^F_n ^{( x)dx} _, - 1
aniq integralga proporsionaldir. Shunga o’xshash, agar yangi
^{x = x}_n+1 ^{, x}_{n+ 2} ^{,..., x}_{n+ m}
nuqtalarni ularni ordinatalari bilan kiritsak, u holdaularga mos


^负_n+1 ^{, 负}_{n+ 2} ^{, ... , 负}_{n+ m}
1
^负
vaznlar
^{n+ i =} _∫ ^{Fn ( x) ξ}m ^{- 1 ( x) dx}
integral bilan aniqlanadi, bu yerda ^ξm _{- 1} ^{( x)} ayrim ^{m - 1} darajali
ko’phadlardir. Ixtiyoriy ^ξ_{m +1} ^{( x)} ko’phad, ^{x 0 , x 1 , x 2 , ..., xm - 1} darajali funksiyalarning chiziqli superpozitsiyasidan iborat ekanligidan, agar ^F_n ^{( x)} quyidagi integrallarni qanoatlantirsa, bu hamma vaznlar avtomatik ravishda nolga
aylanadi.
1 1
_∫ ^F_n ^{( x)dx = 0 , ...,} _∫ ^F_n ^{( x) x m - 1 dx = 0} _{, (2.12)}
- 1 - 1
haqiqatdan ham bizning talablarimiz m ^{= n} gacha borib,
1
_∫ ^F_n ^{( x) xa dx = 0 (a = 0 ,1, 2 ,..., n - 1)} _{, (2.13)} - 1
integral shartiningbajarilishidir.
^{Natijada bizning boshida berilgan n ta nuqtani ixtiyoriy ravishda qo’shsak}
ham baribir xech bir yangi ordinata oldinginatijalarni o’zgartirmaydi.
Oldingi natija shundan iboratki, xuddi biz ^{2 n} ta ordinata bilan ish ko’rib, haqiqatdan esa biz n ta ordinatadan foydalanamiz, yangi qurilgan ordinatalar esa
hisoblanayotganyuzaga hech nima tushmaydi.

Bu jarayonda biz


^{A = y} _k ^负_k

^{yigindiga n ta hadni tejaymiz. Bu fikrlashlar yuqoridagi muloxazalar uchun}
yetarlicha emasdir. To’liqroqbo’lishi uchun quyidagi muloxazanitavsiya etamiz.
Haqiqatdan ham yangi ^x _n+1 ^{, x}_{n + 2} ^{,..., x}_{2 n} nuqtalarning berilishi nafaqat
^Q _{n+ m} ^{( x) (m = 1,2 ,..., n)} yangi ko’phadlarni qo’shadi, xatto
oldingiQ_i ^{( x) (i = 1,2 ,..., n)} ko’phadlar ham o’zgaradi: xar bir yangi ^x _{n+ m} nuqta
^{x - x}n+ m