Asosiy belgilashlar

Gauss tipidagi kvadratur formula koeffisentlarining xossasi. Gauss tipidagi
kvadratur formulaning barchakoeffisentlari musbatdir. Haqiqatdan ham, 2n-2
darajali
^{Ko’phad uchun quyidagi tengliklar bajarilishi ayondir. Bu ko’phad uchun Gauss}
tipidagi formula aniqdir:

Bundan: (2.18)
O’z navbatida bundanbarcha larning musbatligikelib chiqadi.
Gauss tipidagi kvadratur formulaning qoldiq hadi:
Teorema 2.3. Agar [a,b] oraliqda f(x) funksiya 2n-tartibliuzluksizhosilaga egabo’lsa,uholda shunday nuqta topiladiki, Gauss tipidagikvadratur
formulaning qoldiq hadi

uchun quyidagitenglik o’rinlidir:


(2.19)


Gauss kvadratur formulasining qoldiq hadi

x =

A =

| | | | | | |
^{Gauss kvagratur formula bilan tanishdik, endi bu formulani Mathcad dasturida}
yechiminiko’ramiz.


Gauss tenglamasining dasturi:

<sub>ORIGIN = 1


n := 6</sub>

^{P ( x) :=} ₂ ⁿ 1 _n! ^. dx^{n (x}2 ^{一 1 )}n ^{simplify 喻} 2¹6 ^{. x}6 ^一 3¹6 ^{. x}4 ⁺ 116 ^{. x}2 ^{一 1}5⁶

a := P ( x) coeffs , x 喻	( | | | | | | | | | | | | | (	一 5	) | | | | | | | | | | | | | )
		16 0 105
		16 0 一 315 16 0 231
		16

( （ 0.9324695142 一 0.9324695142 一 0.6612093864 一 0.2386191861 0.2386191861 0.6612093865

) | | | | | | | )

_{T ( x) :=} ²
_{1 一 ( x)}² _. ^d _{P ( x)} 2
（dx )


x
k := 1 .. n
:= polyroots ( a)

Ak := ^T (x k)

( | | | | | | | 0.3607615731 0.4679139346 0.4679139346 0.360761573 （ 0.1713244924 0.1713244923

) | | | | | | | )

sin ⁽x^{2 )
f}
b := 1

a := 0
^{( x) :=}
x

₍^b
_l
J
a

f ( x) dx = 0.1509125672
_tk <sup>:=


e</sup>

b 一 a	^.x k ^+	b + a
2		2

b 一 a

2

n
_Σ
2.2. Interpolyatsion kubatur formulalar.
Matematikaning o’zida va uning tadbiqlarida ko’pincha karrali integrallarni taqribiy hisoblashga ehtiyoj tug’iladi. Kvadratur formulalar kabi bu yerda
ham karrali integralning qiymatini integral ostidagi funksiyaning chekli
m
₁ ^, ₂ ^{, . . . ,} _N
iqdordagi P P P nuqtalardagi qiymatlarining chiziqli kombinatsiyasi
yordamida aniqlaydigan ushbu
_∫ ^{. .} _∫ ^{f ( x}₁ ^{, ..., x}_n ^{) dx}₁ ^{. . .dx} _n ^{= A}_k^{f ( P}_k ^{) + R ( f )}
formula kubatur formula deyiladi. Bundagi
^P₁ ^{, P}₂ ^{, . . . , P}_{N (}^P_k ⁼ ₍^{x k ) , x k ) , . . . , x k )} ₎ ^{= Ω} ₎

nuqtalarning to’plami integrallash to’ri , ^A_{k (}^{k = 1, N} ₎
kubatur formulaning koeffitsiyentlari _va ^R ( f ) qoldiq had _deyiladi. Bu paragrifda kubator formulalarni tuzishning ayrim usullarini qisqacha
ko’rib chiqamiz. Biz asosan ikki karrali integrallarni qaraymiz.
1. Kvadratur formulalarni ketma-kit qo’llash. Kubatur formula tuzishning eng soda usuli, bu karrali integralni takroriy integral shaklida tasvirlab, bir karrali integrallar uchun qurilgan kvadratur formulalarni
qo’llashdan iboratdir.

^{Faraz qilaylik , integrallash sohasi}
{a < x < b; c < y < d } bo’lsin. Ushbu
^{I =} _{∫ ∫} ^{f ( x , y )dxdy}
_Ω


Ω to’g’ri burchakli to’rtburchak


( 2.20)

Integralni hisoblash uchun Simpson formulasini ikki marta qo’llaylik. Buning uchun [a,b] va [c,d] oraliqlarning har birini quyidagi nuqtalar
bilan ikkiga bo’lamiz:

^x₀ bu


= a , x₁ = a + h , x₂ = a + 2h = b; y₀ = c , y₁ = c + k , y₂ = c + 2k = d ,
yerda
b - a d - c
_{h = , k =
2 2}

Shunday qilib, hammasi bo’lib to’qqizta ₍x_i , y_{j ) (i} , j = 0,1, 2 )nuqtaga ega

bo’lamiz .
b d
Endi (2.20) integralda ^{I =} _∫ ^dx _∫ ^{f ( x , y ) dy}
a c
ichki integralni hisoblash uchun Simpson formulasini qo’llaymiz:
^I
b
^~ _∫ ^{f ( x , y} ₀ ) + 4 f ( x ^{, y}₁ ) + f ( x ^{, y} ₂ ) ^{dx =}
a
⁼
_k「 ^{b b b} _]
³ L ^{f ( x , y 0 ) dx + 4 f ( x , y1 ) dx + f ( x , y 2 ) dx}
Har bir integralga yana Simpson formulasini qo’llasak, u holda
_{hk |( f ( x 0} ^{, y}₀ ^{) + 4 f ( x}₁ ^{, y} ₀ ) + f ( x₂ ^{, y} ₀ ) ^{+ 4 f ( x}₀ ^{, y}₁ ^{) + 4 f ( x}₁ ^{, y}₁ ) + f ( x₂ ^{, y}₁ ) +)| ^{I =} 〈 〉
⁹ |l+ f ( x ₀ ^{, y}₂ ^{) + 4 f ( x}₁ ^{, y}₂ ^{) + f ( x}₂ ^{, y}₁ ) _J|
yoki
_{I ~} hk _〈^{(| f ( x} 0 ^{, y} 0 ^{) + f ( x}2 ^{, y} 0 ^{) + f ( x}0 ^{, y} 2 ^{) + f ( x}2 ^{, y} 2 ^{) + )|}_{〉 (2.21)}
⁹ |l+4 f ( x ₁ ^{, y} ₀ ) + f ( x₀ ^{, y}₁ ) + f ( x₂ ^{, y}₁ ) + f ( x₁ ^{, y} ₂ ) ^{+ 16 f ( x}₁ ^{, y} _{1 )J|}
hosil bo’ladi. Bu formulani qisqacha quyidagi ko’rinishda yozish mumkin:
I ~ ^{i 0} λij f (xi , yj ) .
Bu yerda ^λ_ij quyidagi uchinchi tartibli


「1 4 1 ]
| |
^{Λ =} _| ^{4 16 4} _|
|L1 4 1」|
matritsaning elementidir .
Ko’rsatish mumkinki, (2.21) formulaning qoldiq hadi

_h ⁵ k a ⁴ f (ξ,η ) _hk ⁵ a ⁴ f (ξ₁ ,η₁ ) _h ⁵ _k ⁵ a ⁸ f (ξ₂ ,η₂ )
^R ( f ) ^{= -} ₄ ^- ₄ ^- _{2 4 4}
^{4 5 ax 4 5 ay 9 0 ax ay}


(2.22)

(a < ξ_i < b; c < η_i < d )
ko’rinishga ega bo’ladi.

Qoldiq handing bu ko’rinishidan ma’lum bo’ldiki, 9 nuqtali (2.21)

formula darajasi uchdan ortmagan ko’phadlarni aniq integrallaydi.
Misol. Simpson formulasi yordamida
5 1
^I
dxdy
^{= ∫ ∫ 2}
_{4 0} ( x + y )
hisoblansin. Bu yerda
_{5 一 4 1 一 0}
^{h = = 0, 5; k = = 0, 5}
2 2
deb olamiz. Integral ostidagi funksiya f ( x , y ) = ( x + y )^一2 qiymatlari quyidagi
jadvalda keltirilgan

yj ^xi	4	4,5	5
0	0,0625000	0,0493827	0,0400000
0,5	0,0493827	0,0400000	0,0330688
1	0,0400000	0,0330688	0,1666667

(2.21) kubatur formulani qo’llaymiz:
_{I 心 [(0, 0625000 + 0, 0400000 + 0, 0400000 + 0,1666667 ) +}
^{+4(0, 0493827 + 0, 0493827 + 0, 03300688 + 0, 03300688 ) + 16 . 0, 0400000] =}
= 0, 044688 .
Bir o’lchovli holdagidek bu yerda ham aniqlikni orttirish maqsadida Ω = {a < x < b; c < y < d } to’g’ri to’rtburchakning tomonlarini mos ravishta m va n bo’lakchalarga bo’lib, hosil bo’lgan mn ta kichik to’g’ri to’rtburchaklarning har birida Simpson formulasini hosil qilish mumkin.
Faraz qilaylik,
^{h = b}2m^{a va k = d}2n^c
bo’lsin, u holda tugunlarning to’ri quyidagi koordinatalarga ega bo’ladi:



x_i = x₀ + ih , x₀ = a , i = 0, 2 m;
y_j = y₀ + jk , y ₀ = c , j = 0, 2 m.
Qulaylik uchun ^{f (x}_i ^{, y}_j ^{) = f}_ij deb olib, har bir kichik to’g’ri
to’rtburchakka (2.21) formulani qo’llasak, u holda

b d
_{∫ ∫} ^{f ( x , y ) dxdy ~} a c



+ f
^{[( f}_{2 i , 2 j} ^{+ f}_{2 i+ 2 , 2 j}


2 i+ 2 , 2 j + 2
+

^f
+ f
_{2 i , 2 j+ 2} ^{) + 4( f}_{2 i+1, 2 j}


²
+ f
<sup>i+ 2 , 2 j+1


2</sup>
+ f
<sup>i+1, 2 j+ 2


2 i , 2 j+1</sup>


) + 16 f


^{2 i+1, 2 j+1}

]

ga ega bo’lamiz yoki o’xshash hadlarni ixchamlasak,

b d
_{∫ ∫} ^{f ( x , y ) dxdy ~} a c


^λ_ij ^f_{ij ,}

bu yerda ^λ_ij quyidagi matritsaning elementidir:

4
1
4
2

16
8


^.
Λ =

^.

8
2
4
1

16
4
2
4
16
8
4 2 ... 4 2
8 1 6 8 ... 1 6 8
4 8 4 ... 8 4


^{.
.
. . . . .}
4
8
16
4
8 4 ... 8 4
8 1 6 8 ... 1 6 8
2 4 2 ... 4 2

1
4
2

^.
2
4
1

Biz ichki va tashqi integrallarning har ikkalasi uchun ham Simpson formulasini qo’lladik. Ichki integralni bir kvadratur formula bilan hisoblab,
tashqi integralni esa boshqa formula bilan ham hisoblash mumkin edi.
Agar Ω soha
a < x < b , Q ( x ) < y < Ψ ( x )
tengsizliklar bilan aniqlangan bo’lsa, bu holda ham (2.20) integralni
yuqoridagi usul bilan hisoblash mumkin:
_b ^Ψ ( x ) _{b
∫ ∫} ^{f ( x , y ) dxdy =} _∫ ^dx _∫ ^{f ( x , y ) dy =} _∫ ^{F ( x ) dx ,}
Ω a Q( x ) a

(2.24)

Ψ ( x )
^F
bu yerd
^{( x ) = ∫ f ( x , y ) dx}
Q ( x )
b
Biror kvadratur formulani qo’llab, _∫ ^{F ( x ) dx}
a


ni hisoblaymiz:

_{∫ ∫} ^f Ω
O’z navbatida


( x ^{, y ) dxdy ~ A}_i ^F ( x_i )


(2.23)

^Ψ ( xi )
^{F ( xi ) =} ∫ ^{f ( xi , y ) dy
Q}( xi )
integralni boshqa biror kvadratur formula bilan hisoblash mumkin:
^{F ( x}_i ^{) = B}_ij ^f (^x_i ^{, y}_j )
Buni (2.23) ga qo’yib quyidagi
_{∫ ∫} ^{f ( x , y ) dxdy ~ A}_i^B_ij ^f (^x_i ^{, y}_j )
_Ω i = 1 j = 1
kubatur formulani hosil qilamiz. Biz qaragan (2.23) va (2.24) formulalarda ko’p tugunlar qatnashadi. Bu yo’l bilan borsak integral karrasi ortgan sari tugunlar soni ham tez ortib boradi. Agar integrallash sohasi ⁿ o’lchovli kub bo’lib, har bir o’zgaruvchi bo’yicha integrallash uchun ^m tadan muqta olinsa, u holda tuzilgan kubator formulaning tugunlari soni ^{N = mn} ta bo’ladi. Shuning uchun ham, kubatur formulalar nazariyasida eng yuqori
aniqlikka ega bo’lgan formulalar tuzishga harakat qilinadi.