Q
xi - xn+ m
i ( x) ga qo’shimcha ko’paytuvchini kiritadi.
Shunday qilib, yangi m ta xn+1 , xn+ 2 ,..., xn+ m nuqtalarning kiritilishi oldingi
Qi ( x) ko’phadni
Q
* x 一 xn +1 x 一 xn + 2 x 一 xn + m
i ( x) = Qi ( x) . . ... .
xi 一 xn +1 xi 一 xn + 2 xi 一 xn + m
,
(2. 14)
ko’phadga aylantiradi.
Q
Yuqoridagi muloxazalarning haqiqat ekanligi shakli o’zgartirilgan
ko’phadlarning quyidagixossalarga ega ekanligidankelib chiqadi:
* ( x)
i
Q
1 .
0
i ( x) = δik (k = 1, 2, ..., n) .
1 1
∫
2 .
0
一 1 Q i ( x) dx = ∫一 1 Q i ( x) dx = 负i
endi buxossalarni isbotiniko’ramiz.
Birinchixossa bevosita (c) munosabatdankelib chiqadi. Ikkinchisiuchun esa
x i 一 xnn++kk = 1 + xix一一x n k
dan foydalanamiz.
Bundan shuni xulosa qilamizki, (c) tenglikning o’ng tomonidagi qo’shimcha
ko’paytuvchilarni ko’paytirishni 1 一 ξm 一 1 ( x) ko’rinishda tasvirlash mumkin
ekan, bu yerda ξm 一 1 ( x) 一 m 一 1 darajali ko’phad. (2.13) shartning kuchiga
asosan 20 - tenglik bajariladi. Isbotlangan 10 va 20 larko’rsatadiki yangi ordinatalar
oldingi olingannatijalarni o’zgartirmaydi.
Muhimrog’i shundan iboratki, bizlar qo’shimcha y n+1 , yn+ 2 ,..., y2 n
ordinatalarni bilishimiz shart emas.
A = y k 负k ,
yigindi n ordinatayordami bilan shunday aniqlikdagi yuzaniberadiki, agar biz 2 n
- ordinata olsak hamo’zgarmaydi.
(2.13) - tipdagi integral shart ortogonallash sharti deyiladi. Biz ko’rsatamizki, Fn ( x) ko’phad 1, x 1 , x 2 , ..., xn 一1 darajali funksiyalarga ortogonaldir. Bunday
shartlarni oldin ortogonal funksiyalar sistemasiniko’rib chikkanda o’rganganmiz.
Biz Yakobi ko’phadlarini tekshirib chiqdikki, u (2.13) shart ma’nosida ko’phad darajasidan past bo’lgan barcha x ning darajalariga ortogonallik xossalariga egadir. Ammo ortogonallik sharti umumiy holda yana p( x) vazn ko’paytuvchini ham integral ostiga oladi . Faqat maxsus hollarda “Lagranj ko’phadlari” da bu vazn ko’paytuvchi birga teng bo’ladi va shunday qilib, ortogonallik oddiy ortogonallikka aylanib qoladi. Shunday qilib, Fn ( x)
funksiyani tanlash masalasihal qilinadi:
Gauss metodi Fn ( x) ni n - Lagranj ko’phadlari bilan mos qo’yishni talab qiladi: bu ko’phad ildizlari bizga shunday nuqtalarni beradiki, qaysikim f ( x) funksiya qiymatlari berilgan bo’ladi. 负i koeffisentlarning sonli qiymatlari bilan birga shu ildizlarning juda aniq jadvallari borki, u (2.8) formula bilan hisoblanadi.
Bizgama’lumki, [ a , b] da n nuqtali interpolyatsion formulaning
b n
∫ p( x) f ( x)dx ~ Σ Ak f ( xk ) , (2.15)
a k = 1
tugun nuqtalari [ a , b] oraliqda qanday joylashganliklaridan qat’iy nazar, (n - 1) - darajali ko’phadlar aniq integrallanishi qaraladi. Chekli [ a , b] oraliq va p( x) = 1 uchun Gauss quyidagi masalani qaragan edi. x1 , x2 ,..., x n tugunlar shunday tanlanganki , (2.15) formula mumkin qadar darajasi eng yuqori bo’lgan ko’phadlarni aniq integrallasin. (2.15) formula n ta parametr - tugunlarni maxsus ravishda tanlash yo’li bilan uning aniqlik darajasini n birlikka ortirishni kutish mumkin. Haqiqatdan ham x1 , x2 ,..., x n tugunlarni maxsus ravishda tanlash orqali (2.15) formulaning darajasini 2 n - 1 dan ortmaydigan barcha f ( x) ko’phadlar
uchun aniq bo’lishga erishishni Gauss ko’rsatdi. Qanchalik Gaussning natijasi
ixtiyoriy oraliq va vazn funksiyalar uchun umumlashtirildi. Bunday formulalar
Gauss tipidagikvadratur formulalardeyiladi. Qulaylikuchun x n tugunlaro’rnida ( x) = ( x - x1 )( x - x2 )...
ko’phad bilan ish ko’ramiz. Agar x k lar ma’lum bo’lsa, u holda 负n ( x) ham ma’lum bo’ladi va aksincha. Lekin x n larni topishni 负n ( x) ni topish bilan almashtirsak , u holda biz 负n ( x) ni ildizlari haqiqiy, har xil va ularning [ a , b]
oraliqdayotishiniko’rsatishimiz shart.
Teorema_.'>Teorema. (2.1) kvadratur formula darajasi 2 n - 1 dan ortmaydigan barcha ko’phadlarni aniq integrallashi uchun quyidagi shartlarning bajarilishi zarur va yetarlidir: 1) u interpolyatsion va 2) 负n ( x) ko’phad [ a , b] oraliqda p( x) vazn bilan darajasi n dan kichikbo’lgan barcha Q ( x) ko’phadlarga ortogonal bo’lishi
kerak.
b
∫ p( x)负n ( x)Q( x)dx = 0 , (2.16)
a
Isbot. Zarurligi. Faraz qilaylik, (2.15) formula darajasi 2 n - 1 dan oshmaydigan barcha ko’phadlarni aniq integrallasin. U holda u interpolyatsiondir. Endi darajasi n dan kichik bo’lgan ixtiyoriy Q ( x) ko’phadni olib, f ( x) = 负n ( x)Q( x) deb olamiz. Shuning uchun ko’rinib turibdiki, f ( x)
darajasi 2 n - 1 dan ortmaydigan ko’phad. Shuning uchun ham uni (1) formula
aniq integrallaydi:
b
∫ p( x)负n ( x)Q( x)dx a
Bu yerda, 负n ( xk ) = 0 ( k = 1, n)
= Ak 负k ( xk )Q( xk ) .
ni hisobga olsak (2.16) tenglik kelib
chiqadi, chunki r( x) darajasi n dan kichik ko’phad va (2.15) formula
interpolyatsiondir.
Yetarliligi. Faraz qilaylik (1) formula interpolyatsion va ko’phad darajasi n dan kichik bo’lgan barcha ko’phadlarga vazn bilan ortogonal
bo’lsin. Endi (2.15) formula darajasi 2n- 1 dan ortmaydigan barcha
ko’phadlarni aniq integrallashini ko’rsatamiz. Haqiqatdan ham ni ga
bo’lib,
(2.17) nihosil qilamiz, hosil qilamiz, buyerda larnidarajalarin dankichik. Bu tengliklarning har ikkala tomonini ga ko’paytirib, a dan b gacha
integrallaymiz:
Teorema shartiga ko’ra o’ng tomondagi birinchi integral nolga teng, ikkinchi
integral esa
Chunki daarajasin dankichik ko’phadva (2.15) formula interpolyatsiondir.
Demak,
b n
∫ p( x) f ( x)dx = Σ Akr( xk ) , a k = 1
lekin (2.17) gako’ra r( x) = f ( x) . Shuninguchun
b n
∫ p( x) f ( x)dx = Σ Ak f ( xk ) . a k = 1
Shu bilan birgateoremaningyetarli sharti isbot bo’ldi.
Φn ( x) ko’phad p( x) vazn bilan [ a , b] oraliqda darajasi n dan kichik bo’lgan barcha ko’phadlar bilan ortogonal va bosh koeffisenti birga teng bo’lishi uchun ishnatijalariga ko’ra , bunday Φn ( x) ko’phad yagona hamda uningildizlari haqiqiy, har xilva [ a , b] oraliqdayotadi. Demak, agar p( x) vazn [ a , b] oraliqda o’z ishorasini saqlasa, u holda xar bir n = 1,2 ,..... uchun 2 n - 1 darajali
ko’phadlarni aniq integrallaydiganyagona (2.2.1) kvadratur formula mavjud.
Teorema 2.2 Agar vazn [a,b] oraliqdao’zishorasinisaqlasa,u holda va lar qanday tanlanganda ham (2.15) tenglik 2n darajali barcha ko’phadlar
uchun aniq bo’la olmaydi.
Isbot. Kvadratur formulaning tugunlarini lar orqali belgilab,
quyidagi
2n- darajali ko’phadni qaraymiz.
Ko’rinibturibdiki, (1) formula buko’phaduchun aniq emas, chunki
vaixtiyoriy koeffisentlaruchun
Dostları ilə paylaş: |