Asosiy qism Qatorlar haqida tushuncha va ularning yaqinlashuvchiligi

Yetarliligi. ketma-ketlik yuqoridan chegaralangan bo`lsin .Unda monoton ketma-ketlikning limiti haqidagi teoremaga ko`ra ketma-ketlik da
chekli limitga ega bo`ladi .Demak, (1) qator yaqinlashuvchi .


2.2. Musbat hadli qatorlarda taqqoslash teoremalari. Ikkita
,
musbat hadli qatorlar berilgan bo`lsin.
2-teorema. Faraz qilaylik, va qatorlar uchun da
(2)
tengsizlik bajarilsin.
U holda :
1) qator yaqinlashuvchi bo`lsa, qator ham yaqinlashuvchi bo`ladi ;
2) qator uzoqlashuvchi bo`lsa , qator ham uzoqlashuvchi bo`ladi.
3-teorema. Faraz qilaylik, musbat hadli va qatorlarning umumiy hadlari uchun

bo`lsin.U holda :

1. 
   bo`lib, qator yaqinlashuvchi bo`lsa, qator ham yaqinlashuvchi bo`ladi.
   
2. 
   K>0 bo`lib , qator uzoqlashuvchi bo`lsa, qator ham uzoqlashuvchi bo`ladi.
   

Natija. Musbat hadli , va qatorlar uchun

bo`lsa, u holda va qatorlar bir vaqtda yoki yaqinlashuvchi bo`ladi, yoki uzoqlashuvchi bo`ladi.
4-teorema. Aytaylik, musbat hadli va qatorlar uchun

bo`lsin
U hoda :
1) qator yaqinlashuvchi bo`lsa, qator ham yaqinlashuvchi bo`ladi;
2) qator uzoqlashuvchi bo`lsa, qator ham uzoqlashuvchi bo`ladi.
Izoh. Yuqorida keltirilgan teoremalar n ning biror qiymatidan boshlab bajarilganda ham o`rinli bo`ladi.

3. Absolyut va shartli yaqinlashuvchi qatorlar va ularning xossalari.

3.1. Absolyut va shartli yaqinlashuvchi qatorlar tushunchasi. Faraz qilaylik,
(1)
qator berilgan bo`lsin .Bu qatorning har bir hadi ixtiyoriy ishorali haqiqiy sonlardan iborat. Odatda, bunday qator ixtiyoriy hadli qator deyiladi.
(1) qator hadlarining absolyut qiymatlaridan ushbu
(2)
qatorni tuzamiz.
1-teorema. Agar (2) qator yaqinlashuvchi bo`lsa, u holda (1) qator ham yaqinlashuvchi bo`ladi .
Isbot. Aytaylik, (2) qator yaqinlashuvchi bo`lsin. Unda qator yaqinlashuvchanligi haqidagi Koshi teoremasiga ko`ra
da

bo`ladi. Ravshanki,

Keyingi ikki munosabatdan
da

bo`lishi kelib chiqadi.Koshi teoremasiga muvofiq (1) qator yaqinlashuvchi bo`ladi.
1-ta`rif. Agar qator yaqinlashuvchi bo`lsa, qator absolyut yaqinlashuvchi qator deyiladi . Masalan, ushbu

qator bo`lganda absolyut yaqinlashuvchi qator bo`ladi, chunki

umumlashgan garminik qator bo`lganda yaqinlashuvchi .