Natija. Agar musbat hadli qator yaqinlashsa ,u hadlarining o`rnini istalgancha almashtirgandan keyin ham huddi o`sha yig`indiga yaqinlashadi .
4. Riman teoremasi haqida. Shartli yaqinlashuvchi qator hadlarining o`rnini almashtirish haqidagi yuqoridagi natijani B.Riman umumiy holda ham isbot qilgan .Chunonchi agar (10) qator shartli yaqinlashsa ,uning hadlari o`rnini o`zgartirish natijasida uni istalgan avvaldan berilgan songa yaqinlashuvchi qilish mumkin .
Bu teoremani isbot qilishdan oldin , biz shartli yaqinlashuvchi qatorda musbat hadlari ham, manfiy hadlari ham cheksiz ko`p ekanini ko`rsatamiz. Aslida biz bundanda kuchliroq natijani ,ya`ni bunday qatorlarda musbat hadlarining yig`indisi ham , manfiy hadlarining yig`indisi ham chegaralanmagan ekanini isbotlaymiz .
Shu maqsadda (10) qatorning n-nomerli qismiy yig`indisi tarkibiga kiruvchi musbat hadlari yig`indisini simvol orqali va o`sha qismiy yig`indi tarkibiga kiruvchi manfiy hadlarining absolyut qiymatlari yig`indisini simvol orqali belgilaymiz .
1 –tasdiq.Agar (10) qator yaqinlashsa , u holda
(22)
tenglik bajariladi.
Isbot. Ravshanki , va kattaliklar ta`rifga ko`ra , (10) qatorning n- nomerli qismiy yig`indisi
(23)
ga teng bo`lib ,hadlarni absolyut qiymatlaridan hosil bo`lgan qatorning n- qismiy yig`indisi esa
(24)
ga teng.
Endi qayd etamizki, (10) qatorning biror S soniga yaqinlashishi
(25)
tenglik bajarilishini anglatsa, ko`rsatilgan qatorning shartli yaqinlashishi esa qatorning absolyut yaqinlashmas ekanini, ya`ni
(26)
munosabat bajarilishini anglatadi .
Agar (25) va (26) tengliklarni (23) va (24) tengliklar bilan taqqoslasak,
,
tengliklarga ega bo`lamiz.
Ravshanki, bu munosabatlardan talab qilingan (22) tenglik kelib chiqadi .
