3-xossa. Agar
qator yaqinlashuvchi bo`lsa, da an nolga intiladi:
Eslatma. Qatorning umumiy hadi ning da nolga intilishidan uning yaqinlashuv
4-xossa. Aytaylik,
(1)
qator berilgan bo`lsin. Bu qatorning hadlarini guruhlab quyidagi
(4)
Qatorni hosil qilamiz, bunda bo`lib, -natural sonlar ketma-ketligi
{n} ning qismiy ketma-ketligi.
Agar (1) qator yaqinlashuvchi bo`lib, uning yig`indisi S ga teng bo`lsa, u holda
(4) qator ham yaqinlashuvchi va yig`indisi S ga teng bo`ladi.
Qatorning yaqinlashuvchanligi. Koshi teoremasi.Faraz qilaylik,
qator berilgan bo`lsin. Ma`lumki, bu qatorning yaqinlashuvchanligi ushbu
(n=1,2,3,…..)
ketma-ketlikning da chekli limitga ega bo`lishidan iborat.
Sonlar ketma-ketligining chekli limitga ega bo`lishi haqida Koshi teoremasi, ya`ni
ketma-ketlikning da chekli limitga ega bo`lishi uchun
da
tengliksizlikning bajarilishi zarur va yetarlidir.
Bundan esa qator yaqinlashuvchiligini ifodalaydigan quyidagi teorema kelib chiqadi.
Teorema.(Koshi teoremasi)qator yaqinlashuvchi bo`lishi uchun
son olinganda ham shunday topilib, va m=1,2,3,… bo`lganda
(5)
tengsizlikning bajarilishi zarur va yetarli.
Eslatma. Agar qator uchun (5) shart bajarilmasa, ya`ni
(6)
bo`lsa, u holda qator uzoqlashuvchi bo`ladi.
2. Qatorlarning yaqinlashish alomatlari 2.1. Musbat hadli qatorlar va ularning yaqinlashuvchanligi. Faraz qilaylik,
(1)
qator berilgan bo`lsin.
Agar bu qatorda bo`lsa, (1) musbat hadli qator deyiladi.
Musbat hadli qatorlarda, ularning qismiy yig`indilaridan iborat ketma-ketlik o`suvchi ketma-ketlik bo`ladi.Haqiqatan ham,
1-teorema.Musbat hadli
qatorning yaqinlashuvchi bo`lishi uchun
, (n=1,2,3,….)
ketma-ketlikning yuqoridan chegaralangan bo`lishi zarur va yetarli.
Zaruriyligi .(1) qator yaqinlashuvchi bo`lsin .Unda da ketma-ketlik chekli limitga ega bo`ladi.Yaqinlashuvchi ketma-ketlikning xossasiga ko`ra
chegaralangan, jumladan, yuqoridan chegaralangan bo`ladi.
