Astanova charos normurodovnaning

n
bo’lishi mumkin. m belgi kasr deyiladi. Unda m va n - natural
n
sonlar. Bu belgi quyidagicha o’qiladi: “n dan m”. n kasrning maxraji, m kasrning surati.
Agar kasrning surati maxrajidan kichik bo’lsa, bunday kasrga to’g’ri kasr, agar kasrning surati maxrajidan katta yoki unga teng bo’lsa, bunday kasrga noto’g’ri kasr deyiladi.
Ta’rif: e uzunlik birligida bitta kesmaning uzunligini ifodalovchi kasrlar teng kasrlar deyiladi. Masalan, 10 va 20
kasrlar e uzunlik birligida bitta kesmaning uzunligini ifodalaydi. Shuning uchun ular teng. 20 = 10
m va p kasrlar teng bo’lishi uchun m-q=n-p bo’lishi zarur
n q
va yetarlidir.
Kasrning asosiy xossasi:
Agar berilgan kasrning surat va maxraji bir xil natural songa ko’paytirilsa yoki bo’linsa, berilgan kasrga teng kasr hosil bo’ladi.
Bu xossadan kasrlarni qisqartirish va umumiy maxrajga keltirish tushunchalari kelib chiqadi.
Kasrlarni qisqartirish - berilgan kasrni unga teng, lekin surat va maxraji undan kichik bo’lgan kasrga almashtirishdir. Masalan, — = ^.
24 2
Kasrlarni umumiy maxrajga keltirish kasrlarni ularga teng, lekin bir xil maxrajli kasrlarga almashtirishdir.
51
Musbat ratsional son - bu teng kasrlar to’plamidir. Bu to’plamga tegishli har bir kasr shu sonning yozuvidir. Masalan, 4,8,—,—... sonlar to’plami biror musbat ratsional
5 3 6 9 12 ^
sondir (4).
v3 y
Har qanday musbat ratsional son uchun shu sonning yozuvi bo’lgan bitta va faqat bitta qisqarmas kasr mavjud.
Musbat ratsional sonlar to’plamida:
1. Eng kichik son yo’q.
2. Ixtiyoriy ikkita ratsional son orasida Q ning cheksiz ko’p soni bor, ya’ni ratsonal sonlar to’plami o’zida zich to’plam.
Kasrlar ustida amallar
Ta’rif: Agar a va b musbat ratsional sonlar — va p
n n
kasrlar bilan ifodalangan bo’lsa, u holda a va b sonlarning yig’indisi deb, kasr bilan ifodalangan songa aytiladi:
n
m p _m + p n n n
Turli maxrajli kasrlarni qo’shish uchun umumiy maxrajga keltirib, yuqoridagi ta’rifdan foydalanib yig’indi topiladi. Musbat ratsional sonlarni qo’shish o’rin almashtirish va gruppalash qonunlariga bo’ysunadi.
Ta’rif: a va b musbat ratsional sonlarning ayirmasi deb, shunday c musbat ratsional soniga aytiladiki, uning uchun a=b+c o’rinli.
Ushbu ta’rifni quyidagicha berish mumkin.
Ta’rif: Agar a va b musbat ratsional sonlar — va p
nn
kasrlar bilan ifodalangan bo’lsa, u holda a va b sonlarning ayirmasi deb, ——p kasr bilan ifodalangan songa aytiladi:
n
m p _ m - p n n n
52
Ta’rif: Agar a va b musbat ratsional sonlar — va p
n q
kasrlar bilan ifodalangan bo’lsa, u holda a va b sonlarning ko’paytmasi deb, —^ kasr bilan ifodalangan songa aytiladi:
n ■ q
m p m ■ p n q n ■ q
Ta’rif: a va b musbat ratsional sonlarning bo’linmasi deb, shunday c musbat ratsional soniga aytiladiki, uning uchun a=b-c o’rinli.
Ikki musbat ratsional sonning bo’linmasi
m p m ■ q n q n ■ p
formula bo’yicha topiladi.
O’nli kasr sonlar tushunchasi
Ta’rif: Maxraji 10 va uning darajaliradan iborat bo’lgan kasrga o’nli kasr deyiladi. Masalan, ^ = 0,1; ^ = 0,03;
= 0,077. — - bu 1 % (foiz) deyiladi.
O’nli kasrlarni taqqoslash va ular ustida qo’shish, ayirish, ko’paytirish va bo’lish amallari natural sonlar to’plamida bajarilgandek bajariladi. Faqat bu yerda o’nli kasrning butun va kasr qismlarini hisobga olish zarur.
1. — qisqarmas kasr maxraji n ni tub ko’paytuvchilarga
ajratganda faqat 2 va 5 sonlari qatnashsa, u holda bu kasr chekli o’nki kasr ko’rinishida ifodalanadi.
2. — qisqarmas kasr maxraji n ni tub ko’paytuvchilarga
n
ajratganda 2 va 5 sonlari ishtirok etmagan holda boshqa tub son qatnashsa, u holda bu kasr cheksiz davriy o’nli kasr (sof davriy o’nli kasr) ko’rinishida ifodalanadi.
3. — qisqarmas kasr maxraji n ni tub ko’paytuvchilarga
n
ajratganda 2 yoki 5 sonlari bilan birga boshqa tub sonlar ham
53
qatnashsa, u holda bu kasr cheksiz davriy o’nli kasr (aralash davriy o’nli kasr) ko’rinishida ifodalanadi.
Sonning o’nli yozuvida verguldan keyin ketma-ket
takrorlangan raqamlar gruppasi qatnashsa, bunday kasrga sof davriy o’nli kasr deyiadi. Ketma-ket takrorlanadigan raqamlar gruppasi davr deyiladi. Masalan, 6 = 0,(857142).
Sonning o’nli yozuvida verguldan keyin ketma-ket
takrorlangan raqamlar gruppasidan oldin qandaydir sonlar qatnashsa, bunday kasrga aralash davriy o’nli kasr deyiadi.
Masalan, - = 0,8(3).
6
Sof davriy cheksiz o’nli kasr shunday oddiy kasrga tengki, uning surati davrga teng, maxraji esa kasr davrida nechta raqam bo’lsa, shuncha to’qqizdan iborat.
r\ -1
Masalan, 0,(21) = — .
Butun qismi 0 ga teng aralash davriy o’nli kasr shunday oddiy kasrga tengki, uning surati ikkinchi davrgacha yozilgan sondan birinchi davrgacha yozilgan sonning ayirmasidan, maxraji esa davrda nechta raqam bo’lsa, shuncha to’qqizdan va birinchi davrgacha nechta raqam bo’lsa shuncha 0 dan iborat.
o 1 A 01
Masalan, 0,31(4) = ——
900
0,5(46)
546 - 5 990 .
Haqiqiy sonlar
Ma’lumki, agar musbat ratsional sonlar o’nli kasr ko’rinishida berilgan bo’lsa, ular ustida amallar bajarish qulay. Shuning uchun bu miqdorlarni o’lchash natijalarini ham, jumladan kesmalar uzunliklarini o’nli kasr ko’rinishida yozish maqsadga muvofiqdir.
a - uzunligi o’lchanishi kerak bo’lgan kesma, e kesma -uzunlik birligi bo’lsin.
54
Agar kesma uzunligini o’lchash jarayonini idealdagidek olsak, ikki hol yuz berishi mumkin:
1) O’lchash jarayoni biror k-qadamda tugaydi. U holda a kesma uzunligi, masalan, n,n1n2...nk ko’rinishidagi chekli o’nli kasr bilan ifodalanadi.
2) Kesma uzunligini o’lchash jarayoni cheksiz bo’ladi. U holda a kesma uzunligi, masalan, n,n1n2...nk... ko’rinishidagi cheksiz o’nli kasr bilan ifodalanadi.
Bu cheksiz o’nli kasr har doim ham davriy bo’lavermaydi. Cheksiz davriy bo’lmagan o’nli kasr hosil bo’lishi mumkin. Ta’rif: Cheksiz davriy bo’lmagan o’nli kasrga irratsional son deyiladi.
Masalan, 72,77, VI9, n = 3,1415..., e = 2,7828....
Ta’rif: Musbat ratsional sonlar to’plami Q+ bilan musbat irratsional sonlar to’plami I+ ning birlashmasi musbat haqiqiy sonlar to’plami deyiladi va u R+ bilan belgilanadi. r+ = q+ ^ i+. a= n,n1n2...nk... biror haqiqiy son bo’lsin. a sonining ^
gacha aniqlikda kami bilan olingan taqribiy qiymati ak= n,n1n2...nk soni bo’ladi. a= n,n1n2...nk... sonining -L gacha
10 *
aniqlikda ortig’i bilan olingan taqribiy qiymati ak1=
n,n1n2...nk+
10 *
soni bo’ladi.
Har qanday a haqiqiy son uchun ak < a < a 1 tengsizlik o’rinli bo’ladi.
a va b haqiqiy sonlar, ak va bk - haqiqiy sonlarning kami bilan olingan taqribiy qiymatlari, ak1 va bk1 - haqiqiy sonlarning ortig’i bilan olingan taqribiy qiymatlari bo’lsin.
Ta’rif: a va b musbat haqiqiy sonlarning yig’indisi deb, a* + b* < a + b < a* + b tengsizlikni qanoatlantiruvchi a+b songa aytiladi.
Ta’rif: a va b musbat haqiqiy sonlarning ko’paytmasi deb, ak • b < a • b < a 1 • b\ tengsizlikni qanoatlantiruvchi a^b songa
aytiladi.
1
55
Har qanday musbat haqiqiy son uchun quyidagi tengliklar bajariladi:
1) a+b=b+a 4) (a^b)x=a^(bx)
2) (a+b)+c=a+(b+c) 5) (a+b)-c=a-c+b-c
3) a^b=fra
Manfiy haqiqiy sonlar to’plamining musbat haqiqiy sonlar to’plami va 0 bilan birlashmasi haqiqiy sonlar to’plami bo’ladi va u R harfi bilan belgianadi. Haqiqiy sonlar to’plami bilan son o’qi orasida o’zaro bir qiymatli moslik mavjud. Har bitta haqiqiy songa son o’qining bitta nuqtasi va aksincha, son o’qidagi har bir nuqtaga bitta haqiqiy son mos keladi.
Haqiqiy sonlarni ayirish va bo’lish mos ravishda qo’hish va ko’paytirishga teskari amal sifatida ta’riflanadi.
Haqiqiy sonlar to’plami quyidagi xossalarga ega:
1) Haqiqiy sonlar to’plami cheksiz to’plam
2) Haqiqiy sonlar to’plami kontenium quvvatli to’plam
3) Haqiqiy sonlar to’plami quyidan ham yuqoridan ham chegaralanmagan to’plam;
4) Haqiqiy sonlar to’plami sonli maydonni tashkil etadi. Bu to’plamdagi elementlar orasida qo’shish, ayirish, ko’paytirish va bo’lish amallari algebraik amal bo’ladi.
Haqiqiy sonlar to’plami barcha sonlar to’plamining eng oxirgisi emas. Sonlar to’plamini yanada kengaytirish mumkin.
Kompleks sonlar.
Ba’zan tenglamalarni yechish jarayonida haqiqiy sonlar to’plami yetarli bo’lmay qoladi. Masalan, x2+1=0 tenglamani yechmoqchi bo’lsak: x = V-1. Bu haqiqiy son emas. Shu sababli haqiqiy sonlar to’plamini kengaytirishga to’g’ri keladi. Bu yangi sonlar haqiqiy sonlar bilan birgalikda kompleks sonlar to’plami deb ataladigan to’plamni tashkil qiladi.
56
Ta’rif: Kompleks son deb, a+bi ko’rinishdagi ifodaga aytiladi, bunda a va b lar haqiqiy sonlar, i - shunday kompleks sonki, i2= -1.
a son a+bi kompleks sonning haqiqiy qismi, b son esa uning mavhum qismi deyiladi.
Ta’rif: Agar ikkita a+bi va c+di kompleks sonlarning haqiqiy va mavhum qismlari teng bo’lsa, ya’ni a=c va b=d bo’lsa, u holda ular teng deyiladi.
Ta’rif: a+bi va c+di kompleks sonlarning yig’indisi deb (a+c)+(b+d)i ko’rinishdagi kompleks songa aytiladi.
Ta’rif: a+bi va c+di kompleks sonlarning ayirmasi deb (a-c)+(b-d)i ko’rinishdagi kompleks songa aytiladi.
Ta’rif: a+bi va c+di kompleks sonlarning ko’paytmasi deb (ac-bd)+(ad+bc)i ko’rinishdagi kompleks songa aytiladi.
Ta’rif: a+bi va c+di kompleks sonlarning bo’limasi deb