Axborotni himoyalashning kriptografik usullari

2-ta’rif. 
3-ta’rif. 

---

3 
Misol.
y
2
=
x
3
+
x
2
elliptik egri chiziq uchun (0;0) nuqta silliq nuqta emasligi 
ko‘rsatilsin. 
Yechish
. Haqiqatan ham, 
f(x,y) = y
2
-x
3
-x
2
, f `(x)=-3x
2
-2x, f `(y)=2y 
bo‘lib (2) shartga nisbatan ziddiyatga kelinadi.Natijada, 
(0;0)
nuqtaning 
haqiqatdan ham silliq nuqta bo‘la olmasligi kelib chiqadi: 
Quyida elliptik egri chiziqlarning umumiy kanonik ko‘rinishi hisoblangan 
ushbu 
y
2
=x
3
+ax
2
+bx+c
, (3) 
tenglama bilan ish ko‘ramiz, bu yerda 
a,b,c
-butun sonlar va ko‘phad 
p(x)= x
3
+ax
2
+bx+c 
karrali ildizga ega emas deb qaraladi. 
Elliptik egri chiziqlarning grafiklari. 
Yuqorida keltirilgan (3) ko‘rinishdagi egri chiziq grafigini chizish uchun 
chizish va Ox – o‘qiga nisbatan simmetrik akslantirish lozim. Bu (4) berilgan 
funksiya grafigini chizish uchun esa kvadratsiz holidagi funksiya 
z=x
3
+ax
2
+bx+c 
grafigini chizib olish kerak bo‘ladi. Funksiya grafigining Ox-o‘qi bilan kesishish 
nuqtalari 
x
3
+ax
2
+bx+c=0 
tenglamaning yechimlarini topish orqali aniqlanadi. Bu tenglamadan, 
almashtirishdan foydalanib, 
v
3
+pv+q=0 

---

4 
keltirilgan tenglama olinadi, bu yerda: 
ifoda diskriminant deb atalib, keltirilgan 
tenglamaning ildizlari soni diskriminant qiymatining ishorasiga bog‘liq: 
a) D 

0 bo‘lsa, bitta haqiqiy ildizga ega, ya’ni funksiya grafigi Ox-o‘qi 
bilan bitta nuqtada kesishadi; 
b) D 

0 bo‘lsa, uchta haqiqiy ildizga ega, ya’ni funksiya grafigi Ox-o‘qi 
bilan uchta nuqtada kesishadi;
s) D 
=
0 bo‘lsa, uchta haqiqiy ildizga ega bo‘lib, ularning ikkitasi teng 
(karrali), ya’ni funksiya grafigi Ox-o‘qi bilan ikkita nuqtada kesishadi.