Axborotni himoyalashning kriptografik usullari

Elliptik egri chiziqda nuqtalari aniqlash va ular ustida amallar. 
Bir qator afzalliklar elliptik egri kriptografiyani ma’lum ilovalar uchun 
jozibali variantga aylantiradi. Birinchidan, yuqorida aytib o‘tilganidek, ECC bir 
xil darajadagi xavfsizlikka erishish uchun boshqa usullarga qaraganda kichikroq 
kalitlarni talab qiladi. Bu cheklangan saqlash mavjud bo‘lgan cheklangan muhitda 
muhim bo‘lishi mumkin.ECC kam hisoblash quvvati va batareya resurslaridan 
foydalanish bilan ekvivalent xavfsizlikni taklif qilganligi sababli, u kriptovalyuta 
platformalarida, jumladan Bitcoin va Ethereum, mobil ilovalar va cheklangan 
hisoblash quvvatiga ega kam quvvatli qurilmalarda keng qo‘llanilayapti.Nihoyat, 
ECC raqamli imzo, kalit almashinuvi va boshqa maqsadlar uchun ishlatilishi 
mumkin; bu uni turli xil ilovalar uchun ko‘p qirrali vositaga aylantiradi.Elliptik 
egri chiziq y
2
= x
3
+ ax + b ko‘rinishdagi tenglama bilan aniqlangan tekis egri 
chiziqdir. A va b konstantalar, x va y esa o‘zgaruvchilardir. Elliptik egri chiziqlar 
kriptografiya uchun juda mos bo‘lgan juda ko‘p qiziqarli matematik 
xususiyatlarga ega. Misol uchun, elliptik egri chiziqda ikkita P va Q nuqtalari 
berilgan bo‘lsa, P + Q = R bo‘lgan uchinchi R nuqtasi mavjud. Bu xususiyat 

---

5 
"nuqta qo‘shish" deb ataladi va quyida tasvirlangan.Kriptografiyaning yana bir 
qimmatli xususiyati bu "nuqtani ikki barobar oshirish". Bu biz elliptik egri 
chiziqdan P nuqtani olib, P + P = 2P bo‘ladigan boshqa 2P nuqtani topamiz. Bu 
quyida tasvirlangan.Biz “cheksizlik nuqtasi” deb ataydigan nuqtaga 
yetgunimizcha nuqtalarni ikki baravar oshirishni davom ettira olamiz, biz uni O 
deb belgilaymiz. Siz buni P va 2P orasidagi masofa o‘zboshimchalik bilan nolga 
yaqinlashadigan chegara holati deb o‘ylashingiz mumkin.Shunday qilib, biz 
yurakning mazmuniga elliptik egri nuqtalarni qo‘shishimiz va ikkilashtirishimiz 
mumkin va hech qachon aniq momentni ikki marta olmaymiz (O dan 
tashqari). Elliptik egri chiziqning har qanday P nuqtasini hisobga olsak, cheksiz 
sonli nuqtalarni P ni (jumladan, O) qo‘shish va ikki barobar oshirish orqali olish 
mumkin. Shunday qilib, elliptik egri chiziqlar yordamida cheksiz miqdordagi 
mumkin bo‘lgan kalitlarni yaratish mumkin.
 
Bunday holda o‘tkazilgan to‘g‘ri chiziq elliptik egri chiziqni cheksizlikda 
kesib o‘tadi deb qabul qilinib, cheksizlikdagi barcha nuqtalar bitta nol nuqtaga 
birlashtirilgan deb hisoblanadi, ya’ni cheksizlikdagi barcha nuqtalar, elliptik egri 
chiziq nuqtalari ustida aniqlangan qo‘shish amaliga nisbatan, haqiqiy sonlarni 
qo‘shishdagi nol qiymati kabi xossaga ega. Bevosita hisoblashlar bilan ko‘rsatish 
mumkinki, elliptik egri chiziq nuqtalarini qo‘shish amali Abel gruppasini tashkil 
etadi, yani elliptik egri chiziqqa tegishli bo‘lgan 
a,b,c
– nuqtalar uchun: 
1) kommutativlik
a 
+
 b 
=
 b 
+
 a
; 
2) assotsiativlik
(a 
+
 b) 
+
 c 
=
 (b 
+
 c) 
+
 a
;
3) nol elementining mavjudligi
a 
+
 E 
=
 a
;

---

6 
4) teskari (qarama - qarshi) elementning mavjudligi
a 
+
 (
−
a) 
=
 E