Axborotni himoyalashning kriptografik usullari

Elliptik egri chiziqlar kriptografiyada qo‘llanilishi. 
ECC kichikroq shifrlangan matnlar, kalitlar va imzolar hamda kalitlar va 
imzolarni tezroq yaratish imkonini beradi. Uning shifrini ochish va shifrlash 
tezligi o‘rtacha darajada tezdir. ECC imzolarni ikki bosqichda hisoblash orqali 
teskarisiga qaraganda kamroq kechikish imkonini beradi. ECC autentifikatsiya 
qilingan kalit almashinuvi uchun kuchli protokollarga ega va texnologiyani 
qo‘llab-quvvatlash kuchli. 
ECC ning asosiy kamchiligi shundaki, uni xavfsiz amalga oshirish oson 
emas. Tasdiqlash va shifrlashda ancha sodda bo‘lgan RSA bilan solishtirganda, 
ECC o‘rganish egri chizig‘i va amaliy natijalarni to‘plash uchun biroz 
sekinroq.Biroq, RSA ning kamchiliklari sizni tez orada ushlaydi. RSA bilan kalit 
yaratish sekin, shifrni ochish va imzolash ham sekin, ularni xavfsiz amalga 
oshirish har doim ham oson emas. 
Ochiq kalitli kriptografiya bir yo‘nalishda ishlov berish oson va teskari 
yo‘nalishda ishlov berish qiyin bo‘lgan algoritmlar yordamida ishlaydi. Misol 

---

7 
uchun, RSA katta sonlarni olish uchun tub sonlarni ko‘paytirish oson ekanligiga, 
katta sonlarni esa asl tub sonlarga qaytarish ancha qiyinroq ekanligiga 
tayanadi.Biroq, xavfsiz bo‘lish uchun RSA 2048 bit yoki undan uzunroq 
kalitlarga muhtoj. Bu jarayonni sekinlashtiradi va bu kalit hajmi muhimligini ham 
anglatadi. 
Hajmi elliptik egri kriptografiyaning jiddiy afzalligi hisoblanadi, chunki u 
kichikroq, mobil qurilmalar uchun ko‘proq quvvatga aylanadi. Elliptik egri 
chiziqli diskret logarifmni yechishdan ko‘ra, bu ancha sodda va faktorlarni 
aniqlash uchun kamroq energiya talab qiladi, shuning uchun bir xil o‘lchamdagi 
ikkita kalit uchun RSA faktoring shifrlash yanada zaifroq. 
ECC-dan foydalanib, siz kichikroq kalitlar yordamida bir xil xavfsizlik 
darajasiga erishishingiz mumkin. Mobil qurilmalar kamroq hisoblash quvvati 
bilan ko‘proq va ko‘proq kriptografiya qilishlari kerak bo‘lgan dunyoda ECC 
RSA bilan solishtirganda tezroq va qisqaroq kalitlar bilan yuqori xavfsizlikni 
taklif qiladi. 
Elliptik funktsiyalar nazariyasidan foydalanib , kompleks sonlar ustida 
aniqlangan elliptik egri chiziqlar, torusning kompleks projektif tekislikka 
kiritilishiga mos kelishini ko‘rsatish mumkin . Torus ham abel guruhidir va bu 
yozishmalar ham guruh izomorfizmidir . 
Elliptik egri chiziqlar sonlar nazariyasida ayniqsa muhimdir va hozirgi 
tadqiqotlarning asosiy yo‘nalishini tashkil qiladi; masalan, ular Endryu Uilzning 
Fermatning oxirgi teoremasini isbotlashda ishlatilgan . Ular, shuningdek , elliptik 
egri kriptografiya (ECC) va butun son faktorizatsiyasida ilovalarni topadilar . 
Elliptik egri chiziq nolga ega bo‘lgan proyektiv konus ma’nosida ellips 
emas: atamaning kelib chiqishi uchun elliptik integralga qarang. Biroq, giperbolik 
tekislikdagi ellipslar sifatida shakli o‘zgarmas j ≥ 1 bo‘lgan haqiqiy elliptik egri 
chiziqlarning tabiiy tasviri mavjud. Xususan, Minkovskiy giperboloidining 
ma’lum bir doimiy burchak xususiyati bilan tavsiflangan kvadrat yuzalar bilan 
kesishishi Shtayner ellipslarini hosil qiladi. (orientatsiyani saqlaydigan 
kolinatsiyalar orqali hosil qilingan). Bundan tashqari, bu ellipslarning ortogonal 
traektoriyalari j ≤ 1 bo‘lgan elliptik egri chiziqlarni va har qanday ellipsni o‘z 
ichiga oladi. Ikki fokusga nisbatan joylashish sifatida tasvirlangan bu har bir 
ortogonal traektoriyadagi kesishmalar juftlarini qo‘shish orqali olingan ikkita 
Shtayner ellipsining elliptik egri yig‘indisidir. Bu erda giperboloidning tepasi har 
bir traektoriya egri chizig‘ida o‘ziga xoslik bo‘lib xizmat qiladi.
Topologik jihatdan murakkab elliptik egri chiziq torus , murakkab ellips esa 
shardir.Elliptik egri chiziqning rasmiy ta’rifi algebraik geometriyada ba’zi 
ma’lumotlarni talab qilsa-da, faqat kirish algebra va geometriyadan foydalanib , 
haqiqiy sonlar ustida elliptik egri chiziqlarning ba’zi xususiyatlarini tasvirlash 
mumkin . 

---

8 
Xulosa 
Elliptik egri chiziqlarga asoslangan kriptografik tizimlarning an’anaviy 
tizimlarga nisbatan afzalligi, ularda foydalaniladigan kalit uzunligi razryadi 
kichik bo‘lganda ham, ekvivalent himoya bilan ta’minlashi kerakligini yuqorida 
aytib o‘tdik. Bu esa bevosita qabul qiluvchi va uzatuvchi moslama 
protsessorlarining yuklanish vaqtini qisqartiradi. Hozirda elliptik egri 
chiziqlarning kriptografiya sohasiga tatbiqi keng ko‘lamda qo‘llaniladi. 
v
3
+pv+q=0 
keltirilgan tenglamaning ildizlari soni diskriminant qiymatining 
ishorasiga bog‘liqligini bilib oldik, ya’ni ular: 
a) D 

0 bo‘lsa, bitta haqiqiy ildizga ega, ya’ni funksiya grafigi Ox-o‘qi 
bilan bitta nuqtada kesishadi; 
b) D 

0 bo‘lsa, uchta haqiqiy ildizga ega, ya’ni funksiya grafigi Ox-o‘qi 
bilan uchta nuqtada kesishadi;
s) D 
=
0 bo‘lsa, uchta haqiqiy ildizga ega bo‘lib, ularning ikkitasi teng 
(karrali), ya’ni funksiya grafigi Ox-o‘qi bilan ikkita nuqtada kesishadi. 
 
 
 
 
 
 
 
 

---

9 
Foydalanilgan adabiyotlar: 
1.
U.R.Xamdamov, Dj.B.Sultanov, S.S.Parsiyev, U.M.Abdullayev 
Operatsion tizimlar. (O‘quv qo‘llanma) 
2.
Бабаш А.В., Шанкин Г.П. История криптографии. Часть I. – Москва: 
Лори Гелиос АРВ, 2002. – 240 с. 
3.
Бабаш А.В., Шанкин Г.П., Криптография – Москва: Лори Гелиос 
АРВ, 2002. – 512 с.