Azərbaycan respublikasi sumqayit döVLƏt universiteti FƏnn- riyazi analiz elementlərinin məktəb riyaziyyat kursunda tətbiqi

Tərs funksiyanın varlığı haqqında teorem:Əgər y=f(x) funksiyası parçasında artırsa(azalırsa) və kəsilməzdirsə,onun qiymətlər çoxluğunda təyin olunmuş y-g(x) tərs funksiyası var, tərs funksiya da uyğun olaraq artandır(azalandır) və kəsilməzdir.

 

Misal: y= funksiyasının tərsini tapaq.

Həlli:x-ə nəzərən həll edək.Bunun üçün bərabərliyin sağ və sol tərəflərini kvadrata yüksəltmək lazımdır.

y2=3x+2

3x= y2-2

x=

Sonra x-lə y-in yerini dəyişirik.y= funksiyası y= funksiyasının tərsini olan funksiyadır.

 

Mürəkkəb funksiyanın törəməsi

Tərif:y=f(u) funksiyasının u0=(x0) nöqtəsində törəməsi varsa,y=f((x0)) mürəkkəb funksiyasının da x0 nöqtəsində törəməsi var və bu törəmə üçün aşağıdakı münasibət doğrudur: y'(x0)=f '(u0) ∙ '(x0)

Burada y'(x0)- ilə f((x)) funksiyasının x0-a nəzərən , f '(u0) ilə f(u) funksiyasının u0-a nəzərən , '(x0) ilə isə (x) funksiyasının x0-a nəzərən törəməsi işarə edilmişdir.

 

Mürəkkəb funksiya bir neçə funksiyanın, məsələn y=f(u), u=, v=g(x) funksiyalarının köməyi ilə verilərsə və bu funksiyalar diferensiallanandırsa, onda onun törəməsi aşağıdakı düstur ilə tapılır: y'x= y'u∙u'v∙v'x

 

Misal 1: funksiyasının törəməsini tapın.

HƏLLİ: ()'= ∙ln 9∙(x2+5)'=2x ln 9

 

Misal 2: y=sin 3x funksiyasının törəməsini tapın.

HƏLLİ:y=sin u , (u=3x) yazsaq, onda mürəkkəb funksiyanın törəmə düsturuna əsasən y'=(sin u)'=cos u u'=cos 3x∙(3x)'=3 cos 3x .

 

Misal 3: y= funksiyasının törəməsini tapaq:

HƏLLİ: y'='= ∙ ∙ = ∙(6x+5) =

 

Misal 4: y=

Həlli: y'=('=(x2+5x)'=(2x+5)

 

 

Tərs funksiyanın törəməsi

Teorem:Tutaq ki, y=f(x) funksiyası x0 nöqtəsinin müəyyən ətrafında artan(azalan) kəsilməz funksiyadır və bu nöqtədə onun sıfırdan fərqli f '(x0) törəməsi var. Onda bu funksiyanın uyğun y0=f(x0)nöqtəsinin müəyyən ətrafında təyin olunmuş x=f-1(y) tərs funksiyası var, y0 nöqtəsində diferensiallanandır və

(f-1(y0))'=

bərabərliyi doğrudur.

 

y-in x-ə görə törəməsini y'x –lə, x-in y-ə görə törəməsini x'y-lə işarə etsək, (f-1(y0))'= bərabərliyini x'y= şəklində yazmaq olar.Bu bərabərlik onu göstərir ki, verilmiş funksiyanın törəməsinin tərsi ,tərs funksiyanın törəməsinə bərabərdir(uyğun nöqtələrdə).

 

Tərs funksiyanın kəsilməzliyi

Teorem: [a;b] parçasında təyin olunmuş kəsilməyən və artan (ya da azalan) y=f(x) funksiyasının tərs funksiyası olan x= funksiyası ,[c;d] (c=f(a) , d=f(b) )parçasında kəsilməyəndir.

Bu teoremdə funksiyanın təyin oblastı olaraq parça əvəzinə interval da götürmək olar. Lakin təyin oblastı parça və intervaldan fərqli oblast götürüldükdə teorem doğru olmaya bilər.

 

ƏDƏBİYYAT

1.Riyaziyyat TQDK dərs vəsaiti

2.Ali riyaziyyat 1-ci hissə(dərs vəsaiti)

3.Hədəf dərs vəsaiti