Teorema(Neyman – Pirson). Yuqorida keltirilgan shartlar bajarilganda har doim tekis eng quvvatli alomat mavjud va u quyidagi kritik to‘plam bilan aniqlanadi
.
Bu yerda c- kritik nuqta Ψ(c) = α tenglamadan topiladi.
T. e. q. alomat taqsimoti funksiyasi absolyut uzluksiz bo‘lgan hol uchun keltirildi. Ammo bunday alomat diskret taqsimotlar uchun ham mavjud bo‘ladi.
2–misol. X1,X2, ..., Xn lar noma’lum θ o‘rta qiymatli va ma’lum σ2 dispersiyali normal taqsimlangan t.m.ning bog‘liqsiz tajribalar natijasida olingan kuzatilmalari bo‘lsin. Asosiy gipotezaga ko‘ra H0 : θ = θ0, raqobatlashuvchi gipoteza H1 ga ko‘ra θ = θ1 va θ1 > θ0 bo‘lsin. Demak,
,
Endi haqiqatga o‘xshashlik statistik nisbati l(x) ni topaylik
U holda tengsizlik quyidagi
tengsizlikka ekvivalent. Oxirgi tengsizlikni quyidagicha yozish mumkin.
- tanlanma o‘rta qiymat θ0 va - parametrlik normal qonun bo‘yicha taqsimlangani uchun
Bu yerda - Laplas funksiyasi. Tanlangan ixtiyoriy ehtimollik uchun, , tengliklar bajariladigan cα soni har doim mavjud. Demak, Neyman – Pirson teoremasining barcha shartlari qanoatlantiriladi. Shu teoremaga asosan t. e. q. alomat mavjud va uning kritik to‘plami quyidagicha aniqlanadi.
,
Mana shu alomatning quvvatini hisoblaylik. Alternativ H1 gipotezaga ko‘ra - tanlanmaning o‘rta qiymati θ1 va - parametrli normal qonun bo‘yicha taqsimlangandir. U holda
(3)
(3) munosabatdan ikkinchi tur xatolik
ekanligi kelib chiqadi.
Endi quyidagi masalani ko‘raylik. Alomatning qiymatdorlik darajasi α ga teng bo‘lganida, ikkinchi tur xatolik β ga teng bo‘lishi uchun nechta kuzatilma kerak?; ya’ni tanlanmaning hajmi qanday bo‘lishi kerak? Kerakli n soni topish uchun ikkita tenglamaga egamiz. Bular
va (4)
Φ(y)=p tenglamaning yechimini ko‘raylik. Bu tenglamaning yechimi yp normal qonunning p–chi kvantili deyiladi. U holda (4) ga asosan . Oxirgi ikki tenglikdan munosabatga ega bo‘lamiz. Qidirayotgan son butun bo‘lishi lozim. Shuning uchun, . Bu erda [a] – a sonning butun qismi. Masalan, α=β=0.05 va bo‘lsa, u holda n*=1076 bo‘ladi; agarda α=β=0.001, bo‘lsa, n*=39 bo‘ladi.
Noparametrik muvofiqlik alomatlari
Faraz qilaylik, X1,X2, ..., Xn lar bog‘liqsiz n ta tajriba natijasida X t.m.ning olingan kutilmalari bo‘lsin. X t.m.ning taqsimoti noma’lum F(x) funksiyadan iborat bo‘lsin. Noparametrik asosiy gipotezaga ko‘ra H0:F(x)=F0(x). Mana shu statistik gipotezani tekshirish talab etilsin.
