Farg’ona Davlat Universiteti Matematika-informatika fakulteti matematika yo’nalishi 3-kurs 19. 04C-guruh talabasi Yursunaliyeva Laylo Xayotjon qizining “Statistik gipotezalar va uning turlari” mavzusidagi kurs ishiga taqriz

Haqiqatga maksimal o‘xshashlik usuli
Kuzatilmalari lardan va umumlashgan zichlik funksiyasi dan iborat t.m.ni olaylik. Agar diskret t.m. bo‘lsa, ehtimolliklardan, uzluksiz t.m. bo‘lgan holda esa zichlik funksiyadan iborat bo‘ladi. Quyidagi funksiyaga haqiqatga maksimal o‘xshashlik funksiyasi deyiladi. Faraz qilaylik, funksiya yopiq sohada biror nuqtada eng katta qiymatga erishsin:
.
Haqiqatga maksimal o‘xshashlik funksiyasi eng katta qiymatga erishadigan qiymat noma’lum parametr uchun haqiqatga maksimal o‘xshashlik usuli bilan tuzilgan statistik baholar deb ataladi. Ularni quyidagi tenglamalar sistemasidan ham topish mumkin:
(7)
(7) tenglamalar sistemasi haqiqatga maksimal o‘xshashlik tenglamalari deyiladi.
Ko‘p hollarda (7) tenglamalar sistemasi o‘rniga quyidagi tenglamar sistemasini yechish qulay bo‘ladi:
(8)
3-misol. Matematik kutilmasi va dispersiyasi noma’lum bo‘lgan, zichlik funksiyasi bo‘lgan normal qonunni olaylik. Haqiqatga maksimal o‘xshashlik funksiyasini tuzamiz:


Bundan

Avval (6) sistemaning birinchi tenglamasini qaraylik:


.

Soddalashtirgandan so‘ng tenglamaga kelamiz.

Endi (6) sistemaning ikkinchi tenglamasini tuzamiz:
.
Soddalashtirgandan so‘ng tenglamaga kelamiz.
Natijada va lar uchun



Ko‘rinishdagi statistik baholarni topamiz.
Demak, normal qonun uchun momentlar va haqiqatga maksimal o‘xshashlik usullari bilan tuzilgan statistik baholar aynan bir xil ekan.
Ishonchlilik oralig‘i
Oldinda biz noma’lum parametrlarning nuqtaviy statistik baholari bilan tanishdik. Tuzilgan nuqtaviy baholar tanlanmaning aniq funksiyalari bo‘lgan to’plam bo‘lib, ular noma’lum parametrlarning asl qiymatiga yaqin bo‘lgan nuqtani aniqlab beradi xolos. Ko‘p masalalarda noma’lum parametrlarni statistik baholash bilan birgalikda bu bahoning aniqligini, ishonchliligini topish talab etiladi. Matematik statistikada statistik baholarning aniqligini topish ishonchlilik oralig‘i va unga mos ishonchlilik ehtimolligi orqali hal etiladi.
Faraz qilaylik, tanlanma yordamida noma’lum θ parametr uchun siljimagan T( ) baho tuzilgan bo‘lsin. Tabiiyki │T( ) – θ│ ifoda noma’lum θ parametr bahosining aniqlik darajasini belgilaydi. T( ) statistik bahoning noma’lum θ parametrga qanchalik yaqinligini aniqlash masalasi qo‘yilsin. Oldindan biron-bir β (0<β<1)- sonni 1 ga yetarlicha yaqin tanlab qo‘yaylik. Endi quyidagi
Ρ{│ T( ) – θ │<δ}=β
munosabat o‘rinli bo‘ladigan δ>0 sonini topish lozim bo‘lsin. Bu munosabatni boshqa ko‘rinishda yozamiz

P{T( )–δ<θ< T( )+δ}=β (9)

(9) tenglik noma’lum θ parametrning qiymati β ehtimollik bilan

℮_β =( T( )–δ ; T( )+δ ) (10)
oraliqda ekanligini anglatadi.
Shuni aytish joizki, (10) dagi ℮_β – oraliq tasodifiy miqdorlardan iborat chegaralarga ega. Shuning uchun, β – ehtimollikni noma’lum θ parametrning aniq qiymati ℮_β – oraliqda yotish ehtimoli deb emas, balki ℮_β – oraliq θ nuqtani o‘z ichiga olish ehtimoli deb talqin qilish to‘g‘ri bo‘ladi (37 – rasm).
℮_β


• • •
T( )–δ θ T( )+δ
4 – rasm.
Demak, aniqlangan ℮_β oralig‘i ishonchlilik oralig‘i, β – ehtimol esa ishonchlilik ehtimoli deyiladi.

2 Bob. Statistik gipotezalar.

2.1 Statistik gipotezalarni tekshirish alomatlari va ularning xossalari

Ko‘p hollarda tajribalardan olingan ma’lumotlar asosida o‘rganilayotgan tasodif bilan bog‘liq bo‘lgan jarayonlar xarakteristikalari haqida bir yoki bir necha turli gipotezalar(tahminlar) qilish mumkin. Statistik ma’lumotlar asosida tasodifiy jarayon taqsimoti yoki boshqa xarakteristikalari haqida aytilgan gipotezalarni tekshirishni matematik statistikaning statistik gipotezalar nazariyasi bo‘limi o‘rganadi.
Kuzatilayotgan to’plam haqida aytilgan ixtiyoriy fikrga statistik gipoteza deyiladi.
1-misol. Hosildorligi a₀ bo‘lgan bug‘doy navini hosildorligi a₁ bo‘lgan bug‘doy navi bilan solishtirilmoqda. Ma’lum tumanda birinchi nav bug‘doy ikkinchi navga qaraganda ko‘proq hosil beradi degan gipotezani tekshirish kerak.
Keltirilgan misoldan ko‘rinib turibdiki, mavjud bo‘lishi mumkin bo‘lgan gipotezalar turlicha bo‘lishi mumkin. Biron – bir obyekt haqida aytilgan gipoteza statistik ma’lumotlar asosida tekshirilishi mumkin.
Tekshirilishi kerak bo‘lgan gipoteza asosiy gipoteza deyiladi va u H₀ bilan belgilanadi. Asosiy gipotezadan qarama-qarshi bo‘lgan ixtiyoriy gipotezaga raqobatlashuvchi yoki alternativ gipoteza deb ataladi.
Afsuski, statistik ma’lumotlar asosida aniq va qat’iy bir yechimga kelish qiyin, shuning uchun har qanday yechimda ma’lum xatolikka yo‘l qo‘yish mumkin. Matematik statistikada statistik gipotezalarni tekshirishda ikki xil xatolikka yo‘l qo‘yishi mumkin. Statistik yechim asosida asosiy faraz u to‘g‘ri bo‘lgan holda ham rad etilishi mumkin. Bunday xatolik birinchi tur xatolik deyiladi. Statistik yechim asosida alternativ gipoteza to‘g‘ri bo‘lsa ham rad etilishi mumkin. Bunday xatolik ikkinchi tur xatolik deyiladi. Tabiiyki, xatoliklarni imkon qadar kamaytirish lozim. Statistik gipotezalarni tekshirish iloji boricha bir emas, bir necha marotaba takrorlanishi va ular asosida xulosaga kelinishi maqsadga muvofiqdir.
Statistik gipotezalarni tekshirish statistik ma’lumotlarga asoslanadi. Faraz qilaylik, X₁, X₂, …, X_n lar n – ta bog‘liqsiz tajribalardagi X t.m.ning kuzatilmalari bo‘lsin. X t.m.ning biron – bir xarakteristikasi haqidagi asosiy H₀ gipoteza ko’rilayotgan bo‘lsin. Endi statistik ma’lumotlar asosida asosiy gipoteza H₀ ni qabul qilish yoki rad etish qoidasini tuzish kerak. Asosiy gipoteza H₀ ni qabul qilish yoki rad etish qoidasi - H₀ gipotezani tekshirishning statistik alomati deyiladi. Odatda statistik gipotezalarni tekshirish – statistik ma’lumotlar asosida asosiy gipotezani tasdiqlash yoki uni rad etishdan iborat bo‘ladi. Endi statistik alomatlarni tuzish qoidalari bilan tanishamiz. Odatda statistik alomatni qurish empirik ma’lumotarni asosiy H₀ gipoteza bo‘yicha tavsiflovchi statistika T = T( ) ni tanlashdan boshlanadi. Bunday tanlashda ikki xossa bajarilishi talab etiladi: a) statistika manfiy qiymatlar qabul qilmaydi; b) asosiy gipoteza to‘g‘ri bo‘lganda statistikaning aniq yoki gipotezaiy taqsimoti ma’lum bo‘lishi kerak. Faraz qilaylik, bunday stastistika topilgan bo‘lib, S = {t: t = T( ), – tanlanma fazosiga tegishli} - statistikaning qiymatlar to‘plami bo‘lsin. Oldindan 0<α<1 – sonini tayinlaylik. Endi S sohani shunday kesishmaydigan va sohalarga ajratamizki, bunda asosiy gipoteza H₀ to‘g‘ri bo‘lganida T( ) tasodifiy hodisaning ro‘y berish ehtimoli α dan oshmasin:
.
Asosiy gipoteza H₀ ni tekshirish qoidasi quyidagicha bo‘ladi: x=(x₁, …, x_n) t.m. X ning biror tanlanmasi qiymati bo‘lsin. Agar t = T(x) miqdor sohaga tegishli bo‘lsa: , u holda asosiy gipoteza H₀ to‘g‘ri bo‘lganida rad etiladi. Aks holda, ya’ni bo‘lsa asosiy gipoteza H₀ ni qabul qilishga asos bo‘ladi, chunki statistik ma’lumotlar asosida qilingan hulosalar asosiy gipotezani rad etmaydi. Shuni ta’kidlash lozimki, bo‘lishi asosiy gipoteza H₀ ni albatta to‘g‘ri bo‘lishini tasdiqlamaydi, balki bu holat statistik ma’lumotlar va nazariy gipotezaning yetarli darajada muvofiqligini ko‘rsatadi xolos. Yuqorida keltirilgan qoidada T=T( ) statistikani statistik alomat statistikasi, - soha alomatning kritik sohasi deyiladi. Odatda α ning qiymatlari uchun 0.1; 0.05; 0.01 sonlari qabul qilinadi. Yuqorida keltirilgan qoidadan shu kelib chiqadiki, alomatning kritik sohasi asosiy gipoteza H₀ to‘g‘ri bo‘lganida alomat statistikasining barcha kichik ehtimolli qiymatlari to‘plamini o‘z ichiga olishi lozim. Odatda kritik sohalar yoki ko‘rinishida bo‘ladi.
Asosiy gipoteza H₀ ni tekshirish uchun yuqorida keltirilgan qoidaga asoslanganimizda biz ikki turdagi xatolikka yo‘l qo‘yishimiz mumkin: aslida to‘g‘ri bo‘lgan asosiy gipoteza H₀ ni rad etishimiz mumkin, ya’ni H₀ to‘g‘ri bo‘lganida hodisasi ro‘y beradi. Bunday xatolik birinchi turdagi xatolik deyiladi. Demak, shartga asosan birinchi turdagi xatolik α dan oshmaydi. Ammo aslida noto‘g‘ri bo‘lgan asosiy gipoteza H₀ ni qabul qilishimiz, ya’ni H₀ noto‘g‘ri bo‘lganida bo‘lib biz H₀ ni qabul qilishimiz mumkin. Bunday xatolik ikkinchi turdagi xatolik deyiladi. Statistik alomatlarga qo‘yiladigan asosiy talablardan biri bu ikki turdagi xatoliklarni iloji boricha kichik bo‘lishini ta’minlamog‘i kerak.
Demak, asosiy gipoteza H₀ ni tekshirish uchun turli statistikalarga asoslangan statistik alomatlarni tuzish mumkin ekan. Tabiiyki, bunda statistik alomatlarni solishtirish masalasi kelib chiqadi.
Faraz qilaylik, alomatning kritik sohasi bo‘lsin. U holda H gipoteza to‘g‘ri bo‘lganida statistikaning qiymati kritik sohaga tegishli bo‘lish ehtimolligi

alomatning quvvat funksiyasi deyiladi. Alomat quvvati H=H₁ bo‘lganida, ya’ni W(H₁) ehtimollik asosiy gipoteza noto‘g‘ri bo‘lganida to‘g‘ri yechimni qabul qilishi ehtimolligini anglatadi. Alomatning siljimaganlik xossasi muhim o‘rin tutadi va bu xossa

tengsizlik bilan aniqlanadi.
Asosiy gipoteza H₀ ni tekshirish uchun qiymatdorlik darajasi α bo‘lgan ikkita va - alomat to‘plamlari aniqlangan bo‘lsin. Mavjud statistik gipotezalarni ikki guruhga ajratish mumkin: parametrik va noparametrik gipoteza. T.m.larning taqsimot funksiyasi paramerli taqsimotlar oilasiga tegishli bo‘lsin. Ammo, taqsimotning parametrlari noma’lumdir. Masalan, t.m. normal qonunlar oilasiga tegishli bo‘lsa, uning taqsimot funksiyasi ikkita: o‘rta qiymat va dispersiya orqali to‘liq aniqlanadi va H₀ gipoteza, bu holda matematik kutilma hamda dispersiya qiymatlari haqida bo‘ladi. Demak H₀ gipoteza asosiy noma’lum parametr qiymatlari haqida bo‘lar ekan. Bunday statistik gipotezaga parametrik gipoteza deb ataladi.
Agarda t.m.ning taqsimot funksiyasi umuman noma’lum bo‘lsa, noparametrik gipoteza qabul qilinadi. Noparametrik gipoteza taqsimot funksiyasining ma’lum xossalarga ega ekanligi haqida bo‘lishi mumkin.
Endi parametrik statistik alomatlarini qaraylik. X t.m.ning asl taqsimot funksiyasi quyidagi taqsimotlar oilasiga tegishli bo‘lsin:
F =
Bu yerda θ=(θ₁, …, θ_r) – r - o‘lchovli vektor, parametrlar qiymati to‘plami bo‘lsin. U holda asosiy gipoteza H₀ ga asosan , alternativ gipotezaga asosan esa . Asosiy gipoteza H₀ ni tekshirish uchun va ikkita kritik to‘plamlar bo‘lib, ular har birining qiymatdorlik darajasi α bo‘lsin. Faraz qilaylik,
(1)
va
(2)
bo‘lsin.
Aytaylik, (2) tengsizlikda hech bo‘lmaganda θ ning bitta qiymati uchun qat’iy tengsizlik o‘rinli bo‘lsin. U holda ga asoslangan statistik alomat nikiga nisbatan tekis quvvatliroq deyiladi. Tabiiyki, bu holda ga asoslangan statistik alomatni nikiga afzal ko‘rmoq maqsadga muvofiq bo‘ladi, chunki u alomat kam xatolikka yo‘l qo‘yadi.
Agarda (1) va (2) munosabatlar ixtiyoriy uchun o‘rinli bo‘lsalar, ga mos alomat tekis eng quvvatli alomat deyiladi.

2.2 Statistik gipotezalarni alomatlari va ularning xossalari

Biz tekis eng quvvatli (t. e. q.) alomat haqida so‘z yuritdik. Tabiiyki t. e. q. alomat har doim mavjud bo‘lavermaydi. Endi parametrik statistik alomatlar orasida bo‘ladigan holni ko‘raylik. Faraz qilamiz, parametlar to‘plam Θ ikki elementdan iborat bo‘lsin: Θ = {θ₁,θ₂}. Asosiy gipoteza H₀ ga asosan θ=θ₀ bo‘lsin. U holda alternativ H₁ gipotezaga ko‘ra esa θ = θ₁ bo‘ladi.
Demak, shartga binoan biz o‘rganayotgan X t.m. H₀ gipotezaga asosan taqsimotga, ammo H₁ raqobatlashuvchi gipotezaga ko‘ra esa taqsimotiga ega bo‘ladi. Hajmi n – ga teng bo‘lgan (X₁,X₂, ..., X_n) tanlanma asosida qaysi gipoteza to‘g‘ri ekanini aniqlash kerak. Bu statistik masala Yu. Neyman va E. Pirsonlar tomonidan hal qilingan.
Faraz qilaylik, F₀(x) va F₁(x) taqsimot funksiyalar absolut uzluksiz taqsimot funksiyalar bo‘lib, mos ravishda f₀(x) va f₁(x) lar ularning zichlik funksiyalari bo‘lsin. Quyidagi nisbatni ko‘raylik

Mana shunday aniqlangan l(x) – haqiqatga o‘xshashlik nisbati deyiladi. Bu funksiya bilan bo‘g‘liq

ehtimollikni kiritamiz. Bu yerda с – soni Ψ(c) = α tenglama bilan aniqlanadi.