MühaziRƏ 1 Analizə giriş Riyazi induksiya üsulu

Misal 12. 1) . Göstərməli ki, .

Həlli. İxtiyari ədədi üçün göstərək ki, elə nömrəsi var ki, olduqda . Doğrudan da, olduğundan bərabərsizliyinin ödənməsi üçün olmalıdır. Deməli, seçsək, ardıcıllığın bu nömrədən sonra gələn hədləri tələb olunan bərabərsizliyi ödəyəcək.

Göründüyü kimi, kəmiyyətinin hər bir qiymətinə müəyyən nömrəsi uyğundur. Bəzi qiymətlər aşağıdakı cədvəldə verilmişdir.

	0,1	0,01	0,001	0,0001
	10	100	1000	10000

Ardıcıllığın hədlərini ədəd oxunda aşağıdakı kimi təsvir etmək olar:

Şəkil 2.3
Bu misaldan nəticə olaraq alırıq ki, , ümumiyyətlə, . Göstərmək olar ki, həmçinin .

2) . Göstərin ki,

Həlli. İstənilən ədədi üçün göstərək ki, elə olduqda . Doğrudan da

bərabərsizliyi o vaxt ödənir ki, olsun. Deməli, götürsək tələb olunan bərabərsizlik ödənir.

Bu nəticəyə əsasən ədədinin müxtəlif qiymətlərində aşağıdakı cədvəli doldurmaq olar.

	0,1	0,01	0,001	0,0001
	9	99	999	9999

Ardıcıllığın hədlərini ədəd oxunda aşağıdakı kimi təsvir etmək olar:

Şəkil 2.4.
Qeyd edək ki, verilmiş limiti aşağıdakı kimi də hesablamaq olar. Surət və məxrəci - ə bölsək,



3) . Göstərməli ki, .

Həlli. Yaza bilərik:

Buradan, . Deməli, götürsək olduqda bərabərsizliyi ödənir. Bu isə hökmün doğruluğunu göstərir. kəmiyyətinin bəzi qiymətlərinə uyğun nömrəsini tapmaq olar:

	0,1	0,01	0,001	0,0001
	8	75	750	7500

Verilmiş ardıcıllıq ədəd oxunda aşağıdakı kimi təsvir olunur:

Şəkil 2.5
Hökmün doğruluğunu aşağıdakı kimi də müəyyən etmək olar. Surət və məxrəci n-ə bölək:



4) olduqda olduğunu göstərin.

Həlli. olarsa üçün olduğundan, . Tutaq ki, . Onda, olduğundan, elə ədədi var ki, . Bernulli bərabərsizliyinə əsasən (bax §1.2, Misal 11) alırıq ki, və deməli, . Bu bərabərsizlik isə , olduqda doğrudur.

Buradan nəticə olaraq tapırıq ki, məsələn,

və s.