Namangan muhandislik texnologiya instituti muhandislik texnologiya fakulteti fizika kafedrasi

6.Differentsial tenglamalarni chiziqlantirish

Chiziqli bo’lmagan tenglamani (nochiziqli tenglamani) chiziqliga almashtirish chiziqlantirish deb ataldi. Bunda hamma o’zgaruvchilarning nochiziqli funktsiyalar ishchi nuqtalar atrofida (o’zgaruvchilarning barqaror qiymatlarida) Teylor qatoriga yoyiladi. Og’ishlar kichik deb hisoblash asosida qatorda og’ishlarning faqat birinchi darajalilari qoldiriladi, so’ngra olingan tenglamalardan muvozanat (statika) tenglamari ayriladi va og’ishlardagi chiziqlantirilgan tenglamalarning yozuvi olinadi.
Xususan, ikki o’zgaruvchining nochiziqli funktsiyasi F(x,y) ishchi nuqta ( ) atrofida Teylor qatoriga ushbu formula bo’yicha yoyiladi:

Keltirilgan qatorning chiziqli qismi dastlabki uchta had bilangina aniqlanadi,  kichik bo’lganligidan boshqa hadlarni e’tiborga olmaslik mumkin. Bu protsedurani  sirt tenglamasini  ko’rinishdagi tekislik bilan almashtirish kabi interpretastiya qilish mumkin.
Differential tenglama (DT) larni chiziqlantirish ABS larini matematik tavsifini tuzishda zaruriy bosqich hisoblanadi. Shu sababli bu protsedurani batafsil qarab chiqamiz.
Misol 1.3. Ob’ekt ikkinchi tartibli DT bilan tavsiflansin:
 (1)
bu yerda  – DT ning koeffitsientlari bo’lib,  (1) dagi DT ning koeffitsientlari o’zgaruvchilarga bog’liq bo’lganligidan, bu DT chiziqli bo’lmagan DT lat sinfiga kiradi. (1) DT ni nominal rejim  atrofida chiziqlantiramiz.
Yechish.

1. 
   ga koeffitsientlarning qiymatlarini qo’yamiz:
   

(2)
Barqarorlashgan (statik) rejimning tenglamasini (2) ga  ni qo’yib olamiz. ga ega bo’lamiz, bundan:
 . (3)
 bo’lganida 

2. 
   ni chiziq1lantirish uchun uni hamma ( ) o’zgaruvchilar bo’yicha ( ) nuqta atrofida Teylor qatoriga yoyamiz.
   

(2) ni ushbu ko’rinishda qayta yozamiz:
F( ) (4)
Bu holda F( ) funktsiyani ikkinchi va yuqori tartibdagi kichikliklarni qo’shiluvchilarni e’tiborga olmasdan Teylor qatoriga yoyish ushbu ko’rinishga ega:

(3) ifodadan foydalanib va  larni e’tiborga olib  funktsiyaning va qatorga kiruvchi xususiy hosilalarning qiymatlarini topamiz. Ushbuga ega bo’lamiz:




Olingan natijalarni e’tiborga olib va  belgisini tushirib qoldirib (3) tenglamani nominal rejimdan ( nuqta) og’ishlarda yozish mumkin:
(5)
(5) ifoda nochiziqli tenglama (4) bilan tavsiflanuvchi tadqiq etilayotgan ob’ektning chiziqlantirilgan DT hisoblanadi.
Chiziqlantirishning xatoligini statik rejimda baholash uchun nisbiy xato  ni ushbu formula bo’yicha aniqlaymiz:

Bu yerda  - y ning chiziqlantirilgan tenglama (5) ga muvofiq  dagi hisoblangan statik qiymati.  - chiziqli tenglama (4) ga ko’ra hisoblangan y ning qiymati.
Xatolik  ning kirish ta’siri x ning qiymatiga bog’liqligi 1-rasmda tasvirlangan.

1-rasm.
 bog’lanishning tahlili ko’rsatadiki, chiziqlantirishning xatoligi kirish signali x ni kattaligi o’zgarishining diapazoniga bog’liq. x ning 3

ABN ning asosiy metodologik qoidalari quyidagilar hisoblanadi:

1. 
   BO va BQ larining boshqarish jarayonidagi faoliyatlarini bir-biriga uzviy bog’langan holda qarash zarur, negaki ular yaxlit ABS ni tashkil etadilar. Bu qoidada boshqarish masalalarini yechishda sistemali yondashuv zarurligi aks etgan.
   
2. 
   ABS faoliyatini o’rganishda ularninf faqat barqaror (qaror topgan, o’rnatilgan) rejimlarini qarash bilan cheklanib qolmaslik zarur, bunday rejimlar nisbatan umumiy bo’lgan qaror topmagan (dinamik) rejimli hollarning xususiy holi sifatida qaralishi kerak. Shu bilan bog’liq holda ABS larini o’rganishning matematik apparati bo’lib differentsial tenglamalar (DT) bo’lishlari kerak.
   
3. 
   ABS ning DT lari shu ABS larning matematik model (MM) larining matematik yozuvlari hisoblanadilar, bu modelda, qo’yilgan tadqiqot masalasini to’g’ri yechish uchun ularning alohida xususiyatlari aks etgan bo’lishlari kerak. DT larning juda ko’p turlari ichida faqat chiziqli differentsial tenglamalar (ChDT) gina umumiy yechish metodlariga egalar, shu sababli, ABS larining modellarini tuzishda har doim, qachonki bu mumkin bo’lsa, chiziqli matematik modellar tuzishga intilish kerak.
   

Chiziqli matematik modellarni qo’llashning amaliy maqsadga muvofiqligi shundan iboratki, tenglamalari koeffitsiyentlarining son qiymatlari oldindan ma’lum bo’lgan nochiziqli modellar amalda mavjud ABS larning faoliyatini faqat analiz (tahlil) ini amalga oshirishga imkon beradi xolos. Ammo, ABN ning eng avvalgi, bosh vazifasi sintezdan, yani, talab etilgan xossalarga ega bo’lgan ABS larini yaratishdan iborat. Afsuski, bunday masalani ABN ning formallashgan metodlari bilan texnologik jarayonlarni real nochiziqli ABS lari uchun amaliy maqbul ko’rinishda yechishni uddasidan chiqilmadi.

4. 
   ABN konkret ABS larning fizikaviy tabiatlaridan abstraktsiyalangan MM lar bilan ish ko’radi, uning metodlari turlicha fizikaviy tabiatli sistemalarga qo’llanilishi mumkin [13].