O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi samarqand davlat universiteti abdirashidov A., Babayarov A. I

 
 
Kesmani teng ikkiga bo‘lish usuli (dixotomiya usuli). 
Bu usul 
f
(
x
) funksiya 
haqida ma’lumotlar juda ham kam bo‘lganda foydalanishga qulay. Faraz qilaylik, 
f
(
x
) 
funksiya (
a
,
b
) intervalning qaysidir bir nuqtasida nolga aylanishini aniqladik, bunda 
ildizdan chaproqda 
f
(
x
)<0 va o‘ngroqda esa 
f
(
x
)>0. Bunday holda izlanayotgan ildizni 

---

66 
topish murakkab bo‘lmaydi. Kesmani teng ikkiga bo‘lamiz va hosil bo‘lgan 
x
i
nuqtada funksiyaning ishoraini qaraymiz. Agar 
f
(
x
i
)>0 bo‘lsa, yuqori chegarani 
b = x
i
deb, aksincha esa quyi chegarani 
a = x
i
deb siljitamiz va hokazo (2.12-rasm).
Bularni quyidagicha ham ifodalash mumkin: 
Faraz qilaylik, 
f
(
a
)

f
(
b
) < 0. 
a
0 
= 
a
va 
b
0 
= 
b
deb belgilash kiritamiz. U holda 
ketma–ket yaqinlashish quyidagicha: 


























.
0
)
(
)
(
agar
,
,
,
0
)
(
)
(
agar
,
,
,
...;
,
2
,
1
,
2
1
1
1
1
1
1
1
1
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
b
f
c
f
b
c
c
f
a
f
c
a
b
a
n
a
b
a
x



















.
0
)
(
)
(
agar
,
,
,
0
)
(
)
(
agar
,
,
,
1
1
1
1
1
1
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
b
f
x
f
b
x
x
f
a
f
x
a
b
a
Bu jarayon 
f
(
x
n
+1
) = 0 bo‘lganda to‘xtatiladi va 
x
= 
x
n
+1
deb qabul qilinadi. 
2.12–rasm. Kesmani ikkiga bo‘lish usulining sxematik tasviri. 
Bu usul 
kesmani teng ikkiga bo‘lish usuli
, 
dixotomiya usuli
(grekchadan 

– 
ikki qismga 

– kesish), 
biseksiyalar usuli
yoki 
vilka usuli
deb ataladi. 
Agar tenglamaning qolgan ildizlarini ham aniqlash zarurati tug‘ilsa, u holda 
g
(
x
) 
= 
f
(
x
)/(
x –
x
) tenglikdan ketma-ket foydalanib, har safar topilgan 
x
ildiz chiqarib 
tashlanadi (endi 
g
(
x
) = 0 va 
f
(
x
) = 0 tenglamalarning 
x
(bu nuqta 
g
(
x
) funksiya uchun 
qutb, 
f
(
x
) funksiya uchun esa ildiz) dan boshqa barcha ildizlari mos keladi). 
Talab qilingan aniqlikdagi yechimga erishish uchun avvalo 
g
(
x
) funksiyaning 
ildizi qo‘pol holda bo‘lsa ham topiladi, keyin esa bu ildiz 
f
(
x
) funksiyadan foydalanib 
aniqlashtiriladi. 
Bu usul uchun 
hisob tugashining kriteriyasi
ushbu 

 x
n
+1
–
x

 x
n
+1
–
 x
n


1
2


n
a
b
< ε 
shartning bajarilishidan iborat, bunda ε – berilgan absolyut aniqlik.
Bu baholash 
usulning xatoligini
anglatadi va u 
xatolikning aprior bahosi 
deb 
ham ataladi. Bu 
usulning yaqinlashish tartibi
1 
ga teng
, ya’ni bu 
usul chiziqli yaqin-

---

67 
lashish tezligiga ega
. {
x
n
} ketma-ketlik maxraji 1/2 ga teng bo‘lgan geometrik pro-
gressiya tezligi bilan ildizga yaqinlashadi.
Bundan kelib chiqadiki, berilgan 
ε
aniqlik bilan ildizni hisoblash uchun zarur 
bo‘lgan 
N
– iteratsiyalar soni qiyidagi tengsizlikdan aniqlanadi:



N
a
b
2
yoki
2
ln
ln
)
ln(
yoki




a
b
N

a
b
N


2
log
. 
Usulning qulayliklari: 

f
(
x
) funksiya haqida ma’lumotlar kam bo‘lganda ham undan foydalanish juda 
qulay;
 

bu usul algoritmi juda sekin, ammo barcha noqulayliklardan holi.
 
Usulning kamchiliklari: 

ko‘p hollarda funksiyaning holati juda murakkab bo‘lib, bu chetki nuqtalarida 
funksiyaning ishorasi har xil bo‘lgan [
a
,
b
] kesmani oldindan aniqlashga qiyin-
chilik tug‘diradi; 

yaqinlashish juda sekin; 

sodda bo‘lmagan ildiz, masalan, ildiz funksiyaning ekstremum nuqtasi bilan 
mos kelganda (2.2-rasmda 
x
2
nuqta), bu usulni qo‘llab bo‘lmaydi, chunki bunda 
ildiz atrofida funksiya o‘z ishorasini almashtirmaydi.

agar tenglama [
a
,
b
] kesmada bir nechta ildizga ega bo‘lsa, u holda hisoblash ja-
rayonida shu ildizlardan qaysi biri topilishi noma’lum. 

uni tenglama karrali (jufr karrali) va kompleks ildizlarga ega bo‘lganda qo‘llab 
bo‘lmaydi; 

uni tenglamalar sistemasiga qo‘llab bo‘lmaydi. 
Usulning algoritmi: 
1.
f
(
a
) va 
f
(
b
) ni hisoblang;
 
2.
c = 
(
a
+ 
b
)/2 deb 
f
(
c
) ni hisoblang;
 
3.
agar sign(
f
(
c
)) = sign(
f
(
a
)) bo‘lsa 
a
= 
c
deb, aks holda esa 
b
=
c
deb almashtirish 
oling (bunda sign ishora funksiyasi);
 
4.
agar 
b – a
> ε bo‘lsa, u holda qadam 2 ga o‘ting, aks holda hisob jarayonini 
to‘xtating (chunki biz talab qilingan ε – absolyut aniqlikka erishdik). Oxirgi 
kesma uchlaridan xoxlagan bittasi yoki ular yig‘indisining yarmini berilgan 
f
(
x
)=0 tenglamaning yechimi deb qabul qilishimiz mumkin. 
Kesmani teng ikkiga bo‘lish (dixotomiya) usuli algoritmining blok-sxemasi 
2.13-rasmda tasvirlangan. 
Namunaviy mashqlar va ularning yechimlari 
1-misol.
Ushbu 
x
4
–
x
3
–2
x
2
+3
x
–3 = 0 tenglamaning ildizlarini analitik yo‘l bilan 
ajrating va uning ildizlaridan birini ε = 0,01 aniqlik bilan kesmani teng ikkiga bo‘lish 
usulidan foydalanib toping.
 

---

68 
Yechish. 
Yuqorida 3-misolda biz bu tenglamaning ikkita haqiqiy ildizi 
mavjudligini, ular
x
1

[–2; –1]; 
x
2

[1; 2] kesmalarda yotganligini aniqlagan edik.
Ushbu tenglamaning, masalan 
x
1

[–2; –1] oraliqdagi haqiqiy ildizini ε = 0,01 
aniqlikda topaylik. Barcha hisoblashlar natijalarini jadval ko‘rinishida ifodalaymiz: 
n
 

n
a
 

n
b
 
x
n
=
 
2
n
n
b
a

 
)
(
n
x
f
 
0 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
7 
–2,00 
–2,00 
–1,75 
–1,75 
–1,75 
–1,75 
–1,75 
–1,74 
–1,00 
–1,50 
–1,50 
–1,63 
–1,69 
–1,72 
–1,73 
–1,73 
–1,50 
–1,75 
–1,63 
–1,69 
–1,72 
–1,73 
–1,74 
–3,5625 
0,3633 
–1,8140 
–0,7981 
–0,2363 
–0,0406 
0,1592 
Javob: 
x
1
≈ –1,73. Ikkinchi ildizni ham xuddi shunday topish mumkin. 
 
2.13-rasm. Kesmani teng ikkiga bo‘lish usulining blok-sxemasi. 

---

69 
Yuqoridagi hisoblashlarni bajarish uchun Maple dasturining ushbu 
Numerical-
Analysis
paketiga murojaat qilamiz: 
# Paketga murojaat qilish 
with
(
Student
[
NumericalAnalysis
]): 
# Funsiyaning berilishi 
f
:=
 x
4
–
x
3
–2

x
2
+3

x
–3; 
# Funksiyaning grafigini chizish (2.14-rasn) 
plot
(
f 
, 
x
=–2..2); 
# Tenglamaning ildizlari 
solve
(
f
); 
# Tenglama ildizlarining o‘nli kasr ko‘rinishi 2.14-rasn. 
# Biseksiya funsiyasiga murojaat va uning natijasi 
Bisection 
(
f 
, 
x 
= [–2, –1], 
tolerance 
= 0.0005); 
–1.731933594 
# Usulning hisob qadamlaridagi intervallar 
Bisection
(
f
, 
x
=[–2, –1], 
tolerance
=0.0005, 
output=sequence
); 
[–2,. –1], [–2., –1.500000000], [–1.750000000, –1.500000000], [–1.750000000,
–1.625000000], ], [–1.750000000, –1.687500000], [–1.750000000, –1.718750000],
[–1.734375000, –1.718750000], [–1.734375000, –1.726562500], [–1.734375000,
–1.730468750], [–1.732421875, –1.730468750], [–1.732421875, –1.731445312] 
# 
Approksimatsiya kriteriyasi bo‘yicha iteratsiyalarning to‘xtashi natijasi 
Bisection
(
f
, 
x
=[–2, –1], 
tolerance
=0.0005, 
stoppingcriterion=absolute
);
–1.731933594 
# Kesmani teng ikkiga bo‘lish jarayonining grafigi va animatsiyaning bosh-
lang‘ich holati (2.15,
a
-rasm) 
Bisection
(
f
, 
x
=[–2, –1], 
output
=
animation
, 
tolerance
=0.0005,
stoppingcriterion=function_value
);
# Kesmani teng ikkiga bo‘lish jarayonining grafigi va animatsiyaning oxirgi holati 
(2.15,
b
-rasm) 
Bisection
(
f
, 
x
=[–2, –1], 
output
=
animation
, 
tolerance
=0.0005, 
maxiterations
=10, 
stoppingcriterion=relative
); 

---

70 
a
b
2.15-rasm. Kesmani teng ikkiga bo‘lish jarayonining grafigi va animatsiyasi. 
# Usul hisobining har bir qadami bo‘yicha natijalarning jadval ko‘rinishidagi ifodasi 
Roots
(
f
, 
x
=[–2, –1], 
method=bisection
, 
tolerance
=0.01, 
output=information
);
2-misol.
Kesmani teng ikkiga bo‘lish usulidan foydalanib, 
x
3
+3
x
2
–3=0 
tenglamaning [–3;–2] kesmadagi ildizini ε = 0,1 aniqlik bilan hisoblang.