O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi samarqand davlat universiteti abdirashidov A., Babayarov A. I

Yechish.
Yuqorida keltirilgan algoritga asoslanib, tenglamani yechish jarayonini 
quyidagi hisob jadvali ko‘rinishida yozamiz: 
n 
a
n 
b
n 
f
(
a
n
) 
f
(
b
n
) 
x
n 
f
(
x
n
) 
(
b
n
–a
n
)/2 
0 
–3 
–2 
–3 
1 
–2,5 
0,125 
0,5 
1 
–3 
–2,5 
–3 
0,125 
–2,75 
–1,11 
0,25 
2 
–2,75 
–2,5 
–1,11 
0,125 
–2,625 
–0,42 
0,125 
3 
–2,625 
–2,5 
–0,42 
0,125 
–2,5625 
–0,129 
0,0625 
Jadvalga ko‘ra ildiz 
x
= –2,5625

0,0625 yoki buni yaxlitlasak, u holda 
x
= –2,6

0,1. 
 
Mashqlar 
Quyida berilgan 
f
(
x
)=0 ko‘rinishdagi tenglamalarni kesmani teng ikkiga bo‘lish 
usuli bilan yeching (bunda 
a
, 
b
, 
c
, 
d
, 

parametrlarni o‘zingiz har xil tanlash orqali 
turli variantlar hosil qilishing‘iz mumkin): 
1. 


0
/
2



cx
x
b
a
, 
a 
= 1.05; 
b 
= 0.1; 
c 
= 2.03; 

= 10
-3
. 

---

71 
2. 
0
2
2



bx
x
a
, 
a 
=1.23; 
b 
= –3.14; 

= 4

10
-5
. 
3. 


0
3



d
c
a
x
b
x
, 
a 
= 0.1; 
b 
= 2.23; 
c 
= 2; 
d
= –1.03; 

= 2

10
-4
. 
4. 
0
)
(
5



bx
a
x
, 
a 
=0.29; 
b 
= 2; 

= 3

10
-4
. 
5. 
0
)
(
2



bx
e
a
x
, 
a 
= –0.4; 
b 
= 0.53; 

= 10
-4
. 
6. 
0
cos
/



bx
c
bx
a
, 
a 
=2.07; 
b 
=1.19; 
c 
=1.13; 

=2

10
-5
. 
Izoh:
Dastlab 
f
(
x
) funksiyaning grafigini matematik paketlardan birida (Maple, 
Matlab, Mathcad, Mathematica) yoki MS Excel dasturida chizing, haqiqiy ildizlar 
yotgan oraliqlarni aniqlab oling, hisoblashlarni qo‘lda va dastur yordamida bajaring. 
 
Vatarlar usuli (proporsional bo‘laklar usuli).
Usulning mazmuni. 
Quyidagi shartlarning bajarilishini talab qilamiz: 

f
(
x
) funksiya o‘zining 
f

 
(
x
) va 
f

 
(
x
) hosilalari bilan [
a,b
] kesmada uzluksiz; 

funksiyaning 
f
(
a
) va 
f
(
b
) qiymatlari kesmaning oxirgi nuqtalarida har xil 
ishorali, ya’ni 
f
(
a
) · 
f
(
b
) < 0; 

har ikkala 
f

 
(
x
) va 
f

 
(
x
) hosilalar [
a,b
] kesmaning barcha nuqtalarida o‘z ishor-
asini saqlab qoladi (berilgan [
a,b
] kesma 
f
(
x
) funksiya hosilasining o‘z ishorasini 
saqlashi bu shu funksiya monotonligining yetarli sharti). 
Bulardan foydalanib, 2.16,
a
-rasmga asosan, dastlab
 A
(
a
,
f
(
a
)) nuqta qo‘zg‘almas, 
x
0
=b
– nolinchi yaqinlashish, 
A
(
a
,
f
(
a
)) va 
B
(
b
,
f
(
b
)) nuqtalarni tutashtiruvchi 
AB
vatarning absissa o‘qi bilan kesishish nuqtasini 
x
1
– birinchi yaqilashish deb qabul 
qilamiz. Keyingi yaqinlashishlarni hisoblash uchun 
f
(
x
1
) qiymatni hisoblaymiz va uni 
f
(
a
) va 
f
(
b
) qiymatlar bilan taqqoslaymiz. Hosil bo‘lgan [
a
, 
x
1
] va [
x
1
, 
b
] 
intervallardan chetlarida 
f
(
x
) funksiya har xil ishorali bo‘lganini tanlaymiz, chunki 
aynan ana shu intervalda izlanayotgan 
x
ildiz yotadi. Yuqorida aytilgan uslubni ana 
shu intervalga qo‘llab, keyingi yaqinlashishni (
x
2
nuqtani) topamiz. Keyingi 
yaqinlashishlarda funksiyaning birinchi va ikkinchi hosilalari intervallarda o‘z 
ishorasini saqlaydi, deb o‘suvchi ketma-ketlikni tashkil etuvchi va yuqoridan 
x
qiymat bilan chegaralangan barcha 
x
1
, 
x
2
, ... yaqinlashishlarni topamiz. Natijada 
x
x
n
n



lim
. Ketma-ket yaqinlashishning formulasini chiqarish uchun 
x
n
dan 
x
n
+1
ga 
o‘tishni qaraylik. Bu holda
B
n
va 
B
nuqtalardan o‘tuvchi 
B
n
B
vatar tenglamasini 
tuzamiz: 
n
n
n
n
x
a
x
x
x
f
a
f
x
f
y





)
(
)
(
)
(
. 
Agar bu tenglamada 
y
(
x
n
+1
) = 0 desak, u holda undan 
x
n
+1
had topilad. 
Bularga asosan umumlashgan quyidagi to‘rtta holat bo‘ladi: 

---

72 
a
) 
b
)
2.16-rasm. Proporsional bo‘laklar usuli (vatarlar usuli)ning
har xil hollari uchun sxemalar. 
 
a
) Agar [
a,b
] kesmada 
A
(
a
,
f
(
a
)) nuqta qo‘zg‘almas va 
f
(
x
) funksiya botiq va 
kamayuvchi (
0
)
(
,
0
)
(




x
f
x
f
) bo‘lsa (1.17,
a
-rasm), u holda ushbu ketma-ketlik 
x
0
=b
,
)
(
)
(
)
(
)
(
1
a
x
a
f
x
f
x
f
x
x
n
n
n
n
n





(
n
=0,1,2,…) (5.2) 
chegaralangan va monoton kamayuvchi: 
a
<
x
<…<
x
n
+1
<
x
n
<…
x
1
<
x
0
=
b
. 
b
) Agar [
a,b
] kesmada 
B
(
b
,
f
(
b
)) nuqta qo‘zg‘almas va 
f
(
x
) funksiya botiq va 
o‘suvchi (
0
)
(
,
0
)
(




x
f
x
f
) bo‘lsa (1.17,
b
-rasm), u holda ushbu ketma-ketlik 
x
0
=a
,
)
(
)
(
)
(
)
(
1
n
n
n
n
n
x
b
x
f
b
f
x
f
x
x





(
n
=0,1,2,…) 
chegaralangan va monoton o‘suvchi: 
a= x
0
<
 x
1
<…<
x
n
<
x
n+1
<…<
 
x
<
b
. 
c
) Agar [
a,b
] kesmada 
A
(
a
,
f
(
a
)) nuqta qo‘zg‘almas va 
f
(
x
) funksiya qovariq va 
o‘suvchi (
0
)
(
,
0
)
(




x
f
x
f
) bo‘lsa (1.17,
a
-rasm), u holda ushbu ketma-ketlik 
x
0
=b
,
)
(
)
(
)
(
)
(
1
a
x
a
f
x
f
x
f
x
x
n
n
n
n
n





(
n
=0,1,2,…) 
chegaralangan va monoton kamayuvchi: 
a
<
x
<…<
x
n
+1
<
x
n
<…
x
1
<
x
0
=
b
. 
d
) Agar [
a,b
] kesmada 
B
(
b
,
f
(
b
)) nuqta qo‘zg‘almas va 
f
(
x
) funksiya qovariq va 
kamayuvchi (
0
)
(
,
0
)
(




x
f
x
f
) bo‘lsa (1.17,
b
-rasm), u holda ushbu ketma-ketlik 
x
0
=a
,
)
(
)
(
)
(
)
(
1
n
n
n
n
n
x
b
x
f
b
f
x
f
x
x





(
n
=0,1,2,…) 
chegaralangan va monoton o‘suvchi: 
a= x
0
<
 x
1
<…<
x
n
<
x
n+1
<…<
 
x
<
b
. 
Endi bu to‘rtta holatni umumlashtiramiz: 
1) agar kesmaning qaysi bir chetida 
f
(
x
) funksiya va uning 
f

(
x
) ikkinchi hosilasi 
bir xil ishoraga ega bo‘lsa, o‘sha chetki nuqta qo‘zg‘almas deb olinadi; 

---

73 
2) agar 
x
ildizning qaysi tarafida 
f
(
x
) funksiya o‘zining 
f

(
x
) ikkinchi hosilasiga 
qarama qarshi ishoraga ega bo‘lsa, 
x
n
ketma-ket yaqinlashishlar o‘sha tomondan 
x
ildizga yaqinlashadi. 
a
)
 
b
)
 
2.17-rasm. Vatarlar usulining geometrik interpretatsiyasi:
a
) 
0
)
(
)
(




x
f
x
f
;
b
) 
0
)
(
)
(




x
f
x
f
. 
 
Iteratsion jarayonning tugallanishi ikkita qo‘shni 
x
n
va 
x
n
-1
iteratsiyalarning 
hisob hatijalari bo‘yicha 
hisobni tugallash kriteriyasini
beradi, ya’ni bu iteratsion 
jarayon ushbu 

x
n
+1
–
x
n

<


shart bajarilgunga qadar davom ettiriladi va 
x
n
+1
= 
x
yoki 
x
n
= 
x
yechim deb olinadi, bu yerda 

– berilgan limitik (chegaraviy) absolyut xato. 
Usulning qulayliklari
: usulning yaqinlashishi kafolatlangan; oraliqni teng ikkiga 
bo‘lish usuliga qaraganda kamida ikki yoki uch marta tezroq yaqinlashishni beradi.
Usulning kamchiliklari:
agar 
a
dan 
b
gacha bo‘lgan kesmada umuman ildiz 
mavjud bo‘lmasa yoki unda bir nechta ildizlar mavjud bo‘lsa, u yechimni izlash vaqti 
cheksizga yaqinlashishi mumkin; agar 
f
(
x
) funksiya grafigi [
a
,
b
] kesmada yetarlicha 
yotiq bo‘lsa, u holda 
f
(
a
) – 
f
(b) farq katta bo‘ladi va hisoblashlarda xatolik ko‘payadi, 
bunday holda keyingi hisoblashlarda dixotomiya usuliga o‘tgan ma’qul. 

---

74 
Usulning hisob algoritmi
:
1. [
a
,
b
] kesmani va 

aniqlikni berish. 
2. Agar
f
(
a
) va
f
(
b
) bir xil ishorali yoki
f ' 
(
a
) 
va 
f '
(
b
) har xil ishorali bo‘lsa, tenglama il-
dizni topish mumkin emasligini bildirish. 
3. Boshlang‘ich yaqinlashishni va navbatdagi 
yaqinlashishning iteratsion hisob formula-
sini yuqoridagi to‘rtta holatdan biri bo‘yicha 
tanlash. 
4. Hisoblashlarni tanlangan iteratsion hisob 
formulasida bajarish. 
5. Aniqlikni baholash: 




n
n
x
x
1
. Agar bu 
shart bajarilsa, ildiz deb 
x
=
x
n
+1
ni qabul 
qilish va tamomlash, aks holda 4-qadamga 
o‘tish. 
Usulning 
blok-sxemasi
 
2.18-rasmda 
tasvirlangan. Dasturda cheksiz takrorlanishlar 
kuzatilmasligi uchun funksiya grafigining 
qovariq yoki botiqligini (2.17-rasm) va 
iteratsiyalar sonini nazorat qilish maqsadga 
muvofiq. Shunday qilib, vatarlar usulidan 
foydalanishda ushbu qoidaga amal qilish 
maqsadga muvofiq: kesmaning qaysi chetida 
funksiyaning ishorasi uning ikkinchi tartibli