|
Misal 2. sırasının yığılmasını araşdırın.
Həlli. Sıranın xüsusi cəminə görə
,
.
Deməli, sıra dağılandır.
Misal 3. sırasının yığılmasını araşdırın.
Həlli. Sıranın ilk həddinin cəmi
olar. Onda
.
Deməli, sıra yığılır və sıranın cəmi .
|
Misal 4. sırasının cəmini tapın.
İsbatı. Xüsusi cəmləri çevirmək üçün sadə kəsrlərə ayırma düsturlarından istifadə edək:
.
Buradan və olar. Beləliklə, ümumi hədd aşağıdakı kimi olur:
.
Onda xüsusi cəmi aşağıdakı kimi ifadə etmək olar:
|
.
Beləliklə,
.
Deməli, sıra yığılır və .
Misal 4. sırasının yığılmasını araşdırın.
Həlli. Məlum düsturundan istifadə edərək -ci xüsusi cəmi aşağıdakı kimi tapa bilərik:
.
Deməlı, sıra yığılır.
|
§2. Yığılаn sırаların xаssələri
Xаssə 1. Əgər
(1)
sırаsı yığılandırsa və cəmi -ə bərabərdirsə, onda istənilən sabiti üçün
(2)
sırası da yığılandır və onun cəmi -ə bərabərdir.
Qeyd edək ki, olduqda, onda sırasının yığılan olmasından sırasının da yığılan olması alınır.
Nəticə. (1) sırası dağılan olduqda, üçün (2) sırası da dağılan olаr.
|
Xаssə 2. Əgər və sıraları yığılandırsa və onların cəmləri uyğun olaraq və -yə bərabərdirsə, onda həmin sıraların cəmi və ya fərqi adlanan sıraları da yığılandır və onların cəmləri uyğun olaraq -ya bərabərdir. Bu təklifin tərsi doğru deyildir.
Qeyd. və sıralarından biri yığılan, digəri isə dağılan dağılan olduqda isə sırasının yığılan və ya dağılan olması haqqında heç nə demək olmur.
|
§3. Sıranın qalığı və onun yığılması
haqqında zəruri və kafi şərt
Verilmiş
(1)
sırasının birinci sayda həddini atdıqda
(2)
sırası alınır, burada ixtiyari qeyd olunmuş ədəddir.
T e o r e m. (1) və (2) sıraları eyni zamanda ya yığılandır, ya da dağılandır.
Nəticə. Verilmiş sıranın sonlu sayda həddini atmaq və ya ona sonlu sayda yeni hədd əlavə etmək, həmin sıranın yığılan və ya dağılan olmasına təsir etmir (dəyişmir).
Bu nəticəni misal üzərində izah edək. Yuxarıda misal 3–də göstərdik ki,
|
sırası yığılandır və cəmi 1-ə bərabərdir. Bu sıranın ilk 10 həddini atsaq,
sırasını alarıq. Tərifə görə bu sıranın yığılan olduğunu araşdıraq. Xüsusi cəmi yazaq:
.
Buradan
.
Nəticədə, verilən sıra da yığılır, lakin onun cəmi başqa ədədə bərabərdir.
(2) sırasına (1) sırasının n-ci qalığı deyilir. (1) sırası yığılan olduqda isbat etdiyimiz teoremə əsasən (2) sırası da yığılan olar.
(2) sırasının cəmini ilə işarə edək:
|
. (4)
Onda
və ya
(5)
bərabərliyini yazmaq olar. Buradan və sıranın yığılmasının tərifinə əsasən aşağıdakı təklif alınır:
T е o r е m. (1) sırasının yığılan olması üçün onun qalıq həddinin limitinin -da sıfra bərabər olması, yəni
(6)
münasibətinin ödənilməsi zəruri və kafi şərtdir.
§4. Sıranın yığılması üçün zəruri sərt.
Harmonik sıra
T e o r e m. Əgər (3) sırası yığılandırsa, onda -da onun -ci həddinin limiti sıfra bərabərdir:
.
Bu şərt sıraların yığılаn olması yаlnız zəruri şərtdir, kаfi dеyildir. Yəni ümumi həddin sıfra bərabər olması sıranın yığılan olması demək deyil, sıra bu halda dağılan da ola bilər.
şəklində sıra harmonik sıra adlanır. Aydındır ki, bu sıranın ümumi həddinin lmiti sıfra bərabərdir:
,
lakin həmin sıra dağılandır.
|
N ə t i c ə (sıranın dağılması üçün kafi şərt) . Əgər (3) sırası üçün limiti yoxdursa və ya sıfırdan fərqli sonlu ədədə bərabərdirsə, ondа sırа dаğılır.
-i hesablamaqla sıraların yığılmasını araşdırın.
1. .
Həlli. Sıranın ümumi həddinin limiti
olduğundan sıra dağılır.
|
Misal_2._.__Həlli.'>Misal 2. .
Həlli. Belə ki, -да və olduğundan -i tapmaq üçün Lopital qaydasını tətbiq edək:
.
Deməli, və nəticəyə görə sıra dağılandır.
|
Misal 3.
Həlli: . Sıranın yığılması üçün zəruri şərt ödənmir və deməli, sıra dağılandır.
|
-
Misal 4. .
Həlli. Sıranın ümumi həddi şərtində şəklində qeyri -müəyyənlik ifadəsini təsvir edir. Bu qeyri-müəyyənliyi açmaq üçün, ikinci görkəmli limitdən istifadə edək:
.
Belə ki, , deməli, sıra dağılır.
|
Dostları ilə paylaş: |
