Bakı Avrasiya Kolleci

Matrisin ranqı
ölçülü (1) matrisinə baxaq. Bu matrisin elementlərindən düzəldilmiş əsas determinantda ixtiyari sətir və ixtiyari sütunun üstündən xətt çəkək. Sətir və sütunların kəsişməsində duran elementlərin əmələ gətirdiyi determinant əsas determinantın tərtibli minoru adlanır.
matrisinin ranqı onun sıfırdan fərqli minorunun ən yüksək tərtibinə deyilir. ilə işarə olunur. Əgər matrisi tərtibli kvadrat matrisdirsə onun ranqı şərtini ödəyir. Matrisin ranqı ya haşiyələnən minorlar ya da elementar çevirmələr vasitəsi ilə tapılır. Matrisin ranqı termini tənliklər sisteminin həllində geniş istifadə olunur.Tənliklər sistemində dəyişənlərin əmsallarından düzəldilmiş determinant sıfırdan fərqlidirsə belə sistem uyuşan sistem, determinant sıfra bərabər olarsa uyuşmayan sistem adlanır.
Kroneker-Kapelli teoremi. Tutaq ki.

tənliklər sistemi verilmişdir.

(1) tənliklər sisteminin matrisinə və genişləndirilmiş matrisinə baxaq:

(1) sistemi yalnız və yalnız o zaman uyuşandır ki, sistemin əsas matrisinin ranqı onun genişləndirilmiş matrisinin ranqına bərabər olsun; yəni . Əgər matrisin ranqı olarsa sistemin həlli yeganədir. olarsa sistemin sonsuz sayda həlli vardır.
İsbatı. Şərtin zəruriliyi. Tutaq ki, (1) sistemi uyuşandir və onun , ,
kimi həlli vardır. Göstərək ki, onda olmalıdır.
həllini sistemdə uyğun məchulların yerinə yazsaq, aydındır kı, sistemin hər bir tənliyi ödənilər və aşağıdakı eyniliklər alınar:



(2) bərabərliklərindən göründüyü kimi matrisinin axırıncı sütunu (şaquli vektoru) matrisinin sütunlarının ( şaquli vektorlarının) xətti kombinasiyasıdır,
yəni vektoru
........, vektorları ilə

kimi xətti ifadə olunmuşdur. Bilirik ki, bu halda sistemi ilə
sistemlərinin ranqları eynidir. Deməli, və matrislərinin ranqları da eyni olmalıdır: .
Şərtin kafiliyi. Indi fərz edək ki. . Göstərək ki, sistem birgədir. və matrislərinin ranqlarının bərabərliyindən alınır ki, -nın xətti asılı olmayan maksimal sayda sütunlar sistemi eyni zamanda üçün də xətti asılı olmayan maksimal sütunlar sistemidir. Çünki -nın bütün sütunları eyni zamanda -nin də sütunlarıdır. Onda matrisinin axırıncı sütunu bu sistem vasitəsi ilə xətti ifadə olunmalıdır. Deməli sayda ədədləri vardır ki, bu əmsalların köməyi ilə matrisinin axırıncı sütunu , yəni şaquli vektoru qalan sütunlar vasitəsi ilə(yəni şaquli vektorları ilə ) (3) şəklində xətti ifadə olunur (xətti asılı olmayan maksimal sistemdə iştirak etməyən sütunları da sıfır əmsalların köməyi ilə bu cəmə əlavə edirik). Buradan isə (2) eynilikləri alınır ki, bu da ədədlərinin (1) sisteminin həlli olduğunu göstərir. Deməli olduqda (1) sisteminin həlli vardır. Teorem isbat olundu.