Bərabərliyi və -in ixtiyari ədədi qiymətində ödənərsə,buna eynilik deyəcəyik

1.AFİN KOORDİNAT SİSTEMİNDƏ DÜZ XƏTTİN ÜMUMİ TƏNLİYİ

Orta məktəb həndəsə kursunu qurarkən düz xətt ilkin obyekt kimi qəbul edilir və ona tərif verilmir.Düz xəttin əsas xassələri aksiomlarla verilir və digər xassələri ondan məntiqi nəticələr kimi çıxarılır.Həndəsəni vektorlar əsasında qurduqda düz xətt müəyyən nöqtələr çoxluğu kimi tərif vermək olur.Vektorların kolinearlığından istifadə edərək,düz xəttin nöqtələrinin hamısına nöqtələr çoxluğu kimi tərif verə bilərik.Doğrudan da fərz edək ki, d hər hansı bir düz xətt,M₀ isə onun hər hansı bir nöqtəsidir.Bundan başqa fərz edək ki,sıfırdan fərqli vektoru d düz xəttinə paraleldir.Onda d düz xəttinin hər bir M nöqtəsi üçün və vektorları kollineardılar.Əksinə, vektoru vektoru ilə kollineardırsa, nöqtəsi düz xəttinin nöqtəsidir.Deməli, nöqtəsinin d düz xəttinə aid olması

üçün zəruri və kafi şərt və vektorlarının kollinear olmasıdır.Başqa sözlə desək,yalnız və yalnız vektoru ilə vektoru kollienar olduqda nöqtəsi düz xəttinə aiddir.Düz xəttin nöqtələrinin hamısının nöqtələr çoxluğu kimi tənliyini yazmaq üçün bunu tərif qəbul edəcəyik.Bu tərifdən istifadə edərək göstərəcəyik ki,iki məchullu bir dərəcəli hər hansı bir tənlik müəyyən koordinat sistemində müstəvi üzərində düz xətti təyin edir.Sistemin afin koordinat sistemi olduğunu başa düşəcəyik.

Fərz edək ki,müstəvi üzərində afin koordinat sistemi təyin edilmişdir. = vektorunu sıfırdan fərqli vektor olduğunu fərz edək və

(1)

tənliyi ilə təyin olunan xəttin düz xətt olduğunu göstərək.Başqa sözlə desək,göstərək ki,koordinatları (1) tənliyini ödəyən nöqtələri = vektoru ilə kollinear olan bir düz xəttin nöqtələridir.

vektoru düz xəttinə paralel və ya düz xəttinin üzərində olduqda, vektoru düz xəttinə kollienardır deyəcəyik.

Verilmiş düz xətlə kollienar olan,sıfırdan fərqli hər bir vektora düz xəttin istiqamətverici vektoru deyilir.

Eyni bir düz xəttin bir neçə (sonsuz sayda) istiqamətverici vektoru olur.İstiqamətverici vektorlar kollieanar olur.Ona görə də eyni bir düz xəttin müxtəlif iki istiqamətverici vektorunun hər hansı birinin müəyyən sıfırlardan fərqli həqiqi ədədə vurmaqla digərini almaq olar.

Fərz edək ki,(1) tənıiyinin hər hansı bir həlli -dır.Onda olur.Bunu (1) tənliyindən çıxsaq

(2)

ifadəsini alarıq.Aydındır ki,(1) və (2) tənlikləri ekvivalentdir. -ı hər hansı bir vektorunun koordinatları kimi qəbul etsək,(2) ifadəsi və vektorlarının kollieanarlıq şərtidir.Başqa sözlə desək,(2) tənliyindəki -ı hər hansı bir qeyd edilmiş nöqtəsinin, isə (1) xəttinin cari nöqtəsinin koordinatları kimi qəbul etsək,(2) ifadəsi və

q
= vektorlarının kollinearlıq şərtini verir.Buda M nöqtələrinin vektoruna kollinear düz xəttin nöqtələri olduğunu göstərir.Deməli koordinatları (1) tənliyini ödəyən nöqtələr = vektoruna kollinear olan bir düz xəttin nöqtələridir.(şəkil.1)


e₁

O

e₂

Şəkil 1.

Bu dediklərimiz onu göstərir ki,müstəvi üzərində iki məchullu bir dərəcəli bir tənlik, məchulların əmsalları eyni zamanda sıfır olmadıqda,müəyyən koordinat sistemində (afin və ya dekart) bir düz xətti təyin edir.(1) tənliyinə düz xəttin ümumi tənliyi deyilir.

əmsallararının qiymətlərindən asılı olaraq (1) tənliyinin təyin etdiyi düz xəttin koordinat sisteminə nəzərən necə yerləşdiyini izah edək.Bəzən sadəlik üçün (1) tənliyinin təyin etdiyi düz xətt əvəzində (1) xətti də deyəcəyik.

(1) olduqda (1) tənliyi

(3)

kimi olur.Koordinat başlanğıcı olan nöqtəsinin koordinatları (3) tənliyini ödəyir.Bu halda verilmiş düz xətt koordinat başlanğıcından keçir.Tərsinə, (1) düz xətti koordinat başlanğıcından keçirsə, olacaqdır.Deməli,koordinat başlanğıcından keçən düz xətt yalnız və yalnız (3) şəklində olmalıdır.

(2) olduqda, (1) tənliyi

(4)

kimi olur. olduğu üçün (4) xətti,həm də (1) düz xətti,koordinat başlanğıcından keçmir. Aydındır ki, = vektoru B ixtiyari sıfırdan fərqli ədəd olduqda.ox oxu ilə kollineardır. vektoru (4) düz xəttinin istiqamətverici vektorudur.Deməli, (4) düz xətti,həm də (1) düz xətti ox oxuna paralel düz xətdir.

(3) olduqda (1) tənliyi

(5)

şəklinə düşür. = vektoru A ixtiyari sıfırdan fərqli ədəd olduqda, oy oxunun istiqamətverici vektorudur.Deməli,bu halda (5) düz xətti, həm də (1) düz xətti oy oxuna paralel düz xətdir.

(4) olduqda, (1) tənliyi şəklinə düşür ki,B 0 olduğundan, alırıq.Deməli,(1) tənliyi ox oxunun tənliyi olur.

(5) A 0, B=0, C=0 olduqda, (1) tənliyi şəklinə düşür ki, buradan da alırıq.(1)

tənliyi oy oxunun tənliyi olur.

Düz xətt koordinat başlanğıcından keçmədikdə və oxlardan heç birinə paralel olmadıqda əmsallarından heç biri sıfır ola bilməz.

Analitik həndəsədə düz xətt aşağıdakı qaydalardan birilə verilə bilər:



1) Düz xəttə aid olmayan hər bir nöqtədən bu düz xəttə paralel yeganə düz xətt keçir.Onda düz xəttin müəyyən nöqtəsindən keçərək,müəyyən vektora paralel olması şərtindən düz xəttin vəziyyətin tamamilə təyin oluna bilər.Deməli, vektoru nöqtəsi verilərsə nöqtəsindən keçib, vektoruna paralel olan düz xətt birqiymətli olaraq təyin edilir.(Şəkil.2).













Şəkil 2


vektoruna həmən düz xəttin istiqamətverici vektoru deyilir.Qeyd etmək lazımdır ki, düz xəttin ixtiyari nöqtəsini nöqtəsi,istiqamətverici vektor əvəzində isə bu düz xəttə paralel olan ixtiyari sıfırdan fərqli vektoru götürmək olar.Müstəvi üzərində afin koordinat

sistemi təyin etsək, nöqtəsi və vektoru müəyyən koordinata malik olacaqdır; və .Bu dediklərimizdən alırıq ki, və cütləri düz xəttin vəziyyətini birqiymətli təyin edir.

2) İki nöqtə düz xəttin vəziyyətini birqiymətli təyin edir.Buradan aydın olur

ki,hər hansı bir düz xətt iki nöqtəsində verilə bilər.(Şəkil.2).Müstəvi üzərində afin koordinat sistemi təyin olunduqda,düz xəttin və nöqtələri müəyyən koordinatlara malik olacaqdır: , .Deməli, yenədə ,və ədədləri düz xəttin vəziyyətini birqiymətli təyin edir.

3) Fərz edək ki,müstəvi üzərində afin koordinat sistemi təyin olunub və l düz

xətti koordinat başlanğıcından keçmir.Bu düz xəttin koordinat oxlarından kəsdiyi istiqamətlənmiş parçalar məlum olduqda,düz xətti həmən istiqamətlənmiş parçaların köməkliyi ilə birqiymətli vermək olar.(Şəkil.3). , ilə göstərsək, və ədədləri düz xəttin vəziyyətini bir qiymətli təyin edir.

B

A







O



Şəkil 3.

Düz xəttin belə verilməsinə düz xəttin ″parçalarla” verilməsi deyilir.

4) Afin koordinat sistemində vektoru koordinatlarına maliksə,α 0 olduqda ədədinə vektorunun bucaq əmsalı deyilir. düz xəttinə paralel olan vektorlar öz aralarında kollinear olurlar.Onda düz xəttinə paralel olan vektorların hamısının uyğun koordinatları mütənasib olacaqdır.Deməli, düz xəttinə paralel olan vektorların hamısının bucaq əmsalları eyni bir k ədədi olacaq.k ədədinə düz xəttinin bucaq əmsalı deyilir.Başqa sözlə desək, düz xəttinin ixtiyari istiqamətverici vektorunun bucaq əmsalına düz xəttinin bucaq əmsalı deyilir.oy oxunun və ona paralel olan ixtiyari düz xəttin bucaq əmsalı sonsuzdur.ox oxunun və ona paralel düz xətlərin bucaq əmsalı isə sıfırdır.

Bu dediklərimizin köməkliyi ilə göstərə bilərik ki,düz xəttin bir nöqtəsi və bucaq əmsalı verildikdə müstəvi üzərində onun vəziyyəti birqiymətli təyin olunur.

Bu halda düz xətt oy oxu ilə kəsişdiyindən, nöqtəsi əvəzində düz xəttin oy oxu




B(0,b)
ilə kəsişdiyi nöqtəni götürmək olar.Şəkil.4-də bu nöqtə ilə göstərilmişdir. nöqtəsi şəkil.4-də olduğu kimi koordinatlarına malik olduqda və ədədləri düz xəttin mestəvi üzərində vəziyyətini birqiymətli təyin edir.




O

Şəkil 4.

Yuxarıdakı izahatdan belə nəticəyə gəlmək olar ki,müstəvi üzərində afin koordinat sistemi təyin olunduqda,düz xəttin vəziyyətini yuxarıdakı dörd haldan biri ilə birqiymətli olaraq müəyyənləşdirmək olar.

Qeyd etmək lazımdır ki,axırıncı iki vəziyyət əvvəlki iki vəziyyətdən alına bilər.Lakin məsələ həllində bu hallar işi asanlaşdırdığı üçün,onları ayrı hal kimi yazdım.