Dalillar.Barcha bayonotlar ta'rifdan darhol amal qiladi.
Lemma 1.25. juftligining asosiga nisbatan yo'nalishi ijobiy bo'ladi, agar dan ga qisqa burilish dan gacha bo'lgan yo'nalishda hosil bo'lsa.
Dalil quyida darhol uch o'lchovli ish uchun amalga oshiriladi.
Ta'rif 1.26. Parallelepipedning bo'shliqning va vektorlari ustiga qurilgan ning asosiga qarab yo'naltirilgan hajmi determinant deb ataladi. Chiziqli mustaqil vektorlar holatida ushbu ta'rifning belgisi
asoslariga nisbatan uchlikning yo'nalishi deyiladi.
1.27-teorema.Ortonormal asosning yo'naltirilgan hajmining absolyut qiymati uch vektorda qurilgan ushbu paralelopipedning hajmiga teng, Ortonormironik asosga nisbatan esa, bu parallelopipedning hajmiga teng.
Lemma .1.28. asoslari sobit bo'lsin va ba'zi vektorlar tekislikda yoki o'q atrofida doimiy tezlikda aylansin. Keyin uning koeffitsientlari vaqtning doimiy funktsiyalari.Xuddi shu narsa vektorni cho'zish yoki qisqartirish uchun ham amal qiladi.
Dalillar.Vektorning tarkibiy qismlari bitta sobit asosga nisbatan boshqa asos koeffitsientlarining chiziqli funktsiyalari bo'lgani uchun (biz buni 4.1 da ushbu lemmani ishlatmasdan isbotlaymiz), Lemmaning isboti uchun qulay asosni ko'rib chiqish kifoya. Aylanish uchun bu quyidagi asos bo'ladi: - aylanish o'qi, va agar siz vektorining oxiridan qarasangiz, u holda bu aylanish soat sohasi farqli o'laroq, - bu vektorning boshlang'ich pozitsiyasining proektsiyalari yo'nalishi. Keyin (aylanish tezligini tanlashgacha) aylanadigan vektor koordinatalarga ega bo'ladi.Cho'zish uchun vektorning koordinatalari shaklga ega, bu yerda m ma'lum bir segment ustida ishlaydi.Ushbu formulalar kerakli uzluksiz bog'liqlikni ko'rsatadi.
Lemma 1.29.(Algebra kursidan).Determinant nolga teng bo'ladi, agar uning qattiqligidan biri boshqalarning chiziqli birikmasi bo'lsa.
