Bərk ciSİMLƏRİN İSTİLİk tutumu

ŞREDİNGER TƏNLİYİNİN SADƏ HALLARA TƏTBİQİ
Makroskopik hissəciklər mexanikasının ən mühüm xüsusiyyətlərindən biri diskret enerji səviyyələrinin olmasından ibarətdir. Bu diskretliyin postulat şəklində qəbul edilməsi, kvant fizikasınm inkişafının hələ ilk mərhələsində zərurət kimi meydana çıxmışdı. Lakin klassik fizika çərçivəsində atom hallannın diskretliyi haqqında müddəa klassik fizikanın bütün təsəvvürlərinə zidd olan yad bir fikir idi. Biz görəcəyik ki, kvant mexanikasında enerjinin diskretliyi bu mexanikanın əsaslarına heç də zidd olmayıb, onun tənliklərindən, klassik mexanika tənliklərindən simin harmonik obertonlarının mövcud olmasının alındığı kimi, təbii qaydada alınır. Kvant mexanikasının inkişaf tarixində bu, ilk nəticələrdən biri olduğu üçün, o dövrdə daha təqdirə layiq idi. Lakin tezliklə məlum oldu ki, kvant mexanikasının əsas tənliyindən və bu tənliyin həllərinin mənasının şərhindən digər nəticələr də alınır ki, bunlar da kvantlanmadan heç də az əhəmiyyətli deyildir. Bu nəticələr bir sıra yeni hadisələri izah etməyə imkan verdi və kvant mexanikasının məhsuldar inkişafını təmin etdi. Nəticədə məntiqi cəhətdən müntəzəm olan və tamamilə özünə məxsus kvant mexanikası sistemi qurulmuş oldu. Bu sistemin mənimsənilməsini asanlaşdırmaq üçün biz onu tarixi ardıcıllığa uyğun olaraq şərh etməyə çalışacağıq. Belə ki, əvvəlcə kvant mexanikasının əsas tənliyini quracaq, bu tənliyin tətbiqinə aid bir sıra misallara baxacaq və sonra kvant mexanikasının əsasları ilə tanış olacağıq.
Plankın kvantlar nəzəriyyəsi, Bor postulatları və daha sonra de-Broyl hipotezi atom fizikasının nəzəri əsaslarının inkişafı prosesində mühüm mərhələlər olmuşdur. Lakin bunlar, dalğa xassələrini nəzərə almaqla elektronun hərəkətini təsvir edən əsas diferensial tənliyi tapmaq, həm də kvant xassələrini nəzərə almaqla onun şüalanması nəzəriyyəsini qurmaq üçün yalnız ilkin mərhələlər hesab edilməlidir. Bu istiqamətdə əsaslı addım 1926- cı ildə avstriyalı fizik E. Şredinger tərəfindən atılmışdır. O, xüsusi törəməli elə diferensial tənlik təklif etmişdir ki, bu tənliyin köməyi ilə, bir qayda olaraq, qeyri-relyativistik (u< yüklü hissəciklərin hərəkətini, onların dalğa xassələrini nəzərə almaqla, təsvir etmək mümkün olur. Qeyd edək ki, Şredinger tənliyini, de-Broyl dalğasının uzunluğu sıfırdan fərqli olan hal üçün, klassik Hamilton-Yakobi tənliyinin ümumiləşməsi hesab etmək olar. Dalğa optikası həndəsi optikaya hansı nisbətdədirsə, Şredinger tənliyi də Hamilton-Yakobi tənliyinə təqribən həmin nisbətdədir.
Şredinger tənliyinin ən sadə üsulla necə alındığım göstərək. Yeri gəlmişkən qeyd edək ki, bu tənliyin hər hansı ciddi və ya ümumi çıxarılışından danışmaq düz deyil. Çünki, ümumiyyətlə desək, ixtiyari yeni nəzəriyyəni köhnə təsəvvürlərə əsaslanaraq qurmaq olmaz. Ona görə də Şredinger tənliyini almaq üçün aşağıda şərh olunan mülahizələrə bu tənliyin çıxanlışı kimi yox, həmin tənliyin yalnız qurulması kimi baxılmalıdır. Fizikanın bütün əsas tənlikləri kimi (məsələn, mexanikada Nyuton tənlikləri və ya elektromaqnit sahəsi üçün Maksvel tənlikləri), Şredinger tənliyinin də ciddi çıxarılışı yoxdur. Bu tənlik çıxarılmır, o, müəyyən mülahizələr əsasında qurulur və onun doğru olması isə, həmin tənlik vasitəsilə alınan nəticələrin təcrübi faktlarla uyğun gəlməsi ilə təsdiq olunur. Şredinger tənliyini yazmaq üçün biz klassik elektrodinamikadan və ya optikadan məlum olan

dalğa tənliyini de – Broyl dalğalarının yayılması üçün ümumiləşdirəcəyik. Burada – v sürəti ilə yayılan dalğa prosesini təsvir edən funksiya , Laplas operatorudur. Əgər dalğa monoxromatikdirsə, tənliyin həlli

şəklində axtarmaq olar. Burada – dairəvi tezlikdir və funksiyası yalnız fəza koordinatlarından asılıdır. dalğa funksiyasının fəza koordinatlarından asılı olan hissəsini tapmaq üçün aşağıdakı differensial tənliyi alırıq:

tənlikdə kimi parametrin əvəzinə bir dənə parametr, yəni dalğa uzunluğu daxil edə bilərik:

olduğunu yazsaq

alarıq.
Tənliyi, ümumiyyətlə desək, universal xarakterə malik olan dalğa tənliyidir. Əgər biz elektronların dalğa xassəsinə uyğun olan hərəkətini təsvir etməyə imkan verən dalğa tənliyini almaq istəyiriksə, onda ifadəsində A-nın əvəzinə elektron üçün de- Broyl dalğasının

uzunluğunu yazmalıyıq. Onda enerjinin saxlanma qanununun

ifadəsindən olduğunu yazmaqla alınan ifadədən istifadə edərək

alarıq. Stasionar (yəni, zamandan asılı olmayan) Şredinger tənliyini almış oluruq:

Qeyd edək ki, stasionar Şredinger tənliyini başqa üsulla da qurmaq olar. Bu üsulun mahiyyəti aşağıdakından ibarətdir. Göstərildiyi kimi, elektromaqnit dalğaları üçün dalğa tənliyi (yəni, fotonlara uyğun dalğa tənliyi) elektromaqnit sahəsinin əsas tənlikləri olan Maksvel tənliklərindən bilavasitə alınır. Bu dalğa tənliyində, onun müstəvi dalğa şəklində olan həllini yazaraq biz c_o tezliyi ilə dalğa vektorunun k_x, k_y, k_z toplananları arasında elektromaqnit dalğasınm təbiəti üçün xarakterik olan əlaqə düsturunu (yəni dispersiya qanununu) tapmış oluruq:

İndi isə biz bunun tərsini edəcəyik, yəni de-Broyl dalğaları üçün dispersiya qanunundan istifadə edərək, bu qanuna uyğun gələn diferensial tənliyi tapacağıq. De-Broyl dalğaları üçün aşağıdakı dispersiya qanunu müəyyən edilmişdir:

Burada co₀=m₀c²/h işarə edilmişdir. Dispersiya qanunu impuls və eneıji arasında relyativistik əlaqəni müəyyən edən aşağıdakı düsturdan istifadə edilməklə alınmışdır:

Bizi qeyri-relyativistik Şredinger tənliyi maraqlandırır və bu tənliyi almaq üçün impuls və enerji arasında əvəzinə Nyuton mexanikasına əsasən yazılmış

əlaqə düsturundan istifadə etməliyik. İfadədə məlum

kvant ifadələrini nəzərə alsaq və sabitinə ixtisar etsək,

düsturunu alarıq ki, bu da de-Broyl dalğaları üçün qeyri-relyativistik yaxınlaşmada dispersiya qanunudur.
İndi isəŞredinger tənliyini almaq üçün müstəvi de-Broyl dalğasının

ifadəsini zamana görə bir dəfə, bütün koordinatlara görə isə iki dəfə differsiallayaq. Onda tapırıq ki,

Buradan , k_x, k_y və k_z – i taparaq, de – Boyl dalğaları üçün dispersiya qanununda yerinə yazaraq

və ya

tənliyini alırıq.
Tənliyinin həlli müstəvi monoxromatik dalğanı təsvir edən ψ(x,y,z,t) funksiyasıdır. Bu həlli iki funksiyanın – yalnız koordinatlardan asılı olan ψ(x,y,z) funksiyası ilə yalnız zamandan asılı olan et funksiyasının hasili şəklində göstərmək olar:

Belə funksiya üçün tənliyin sol tərəfi

şəklinə düşür. Ona görə də yazaraq, nəzərə alaraq və hər iki tərəfi zamandan asılı olan et vuruğuna ixtisar edərək ψ(x,y,z) funksiyasını tapmaq üçün

tənliyi alarıq.
Qeyd edək ki, ifadəsi sərbəst hissəcik üçün axtarılan Şredinger tənliyidir. Bu tənliyin həlli kimi xüsusi şəkildədirsə, onda həmin həllin yalnız koordinatlardan asılı olan (x.y,z) hissəsi tənliyini ödəyir. Zamandan asılı olan həlli tapmaq üçün isə (x.y,z) funksiyasını et funksiyasına vurmaq lazımdır.
Tənliyini biz sərbəst mikroskopik hissəcik üçün almışıq. Həmin tənliyi U potensial enerjisi ilə xarakterizə olunan xarici qüvvə sahəsində hərəkət edən hissəcik üçün ümumiləşdirək. Belə sahədə hissəciyin tam eneıjisi E=T+U kimi təyin olunur, yəni T kinetik eneıjisi ilə U potensial eneıjisinin cəminə bərabərdir. Sərbəst hissəcik üçün U=0 olduğundan E tam enerjisi T kinetik enerjisinə bərabər olur: E=T. Bizi maraqlandıran ümumiləşdirmə zamanı, belə sual meydana çıxır ki, hissəciyin xarici sahədə hərəkətinə baxdıqda, tənliyindəki E kəmiyyəti tam eneıjidir, yoxsa ki, kinetik enerji? Aydındır ki, E tam enerji hesab edilsə, onda ümumiləşmiş halda tənlikdə bu və ya digər sahəni təsvir edən hədd olmayacaqdır. Əksinə, əgər sərbəst hissəcik üçün biz E-nin yalnız kinetik enerji olduğunu başa düşsək, onda U potensial enerjisi ilə xarakterizə olunan xarici sahədə hərəkət üçün tənliyində E-nin əvəzinə T=E-U kinetik eneıjisini yazmalıyıq. Onda tənliyinin əvəzinə

tənliyini alırıq ki, bu da xarici sahədə hərəkət edən hissəcik üçün kvant mexanikasının əsas tənliyi olan stasionar Şredinger tənliyidir və tənliyi ilə üst-üstə düşür.
Qeyd edək ki, tənliyindən dalğa funksiyasının fəza koordinatlarından asılı olan (r) hissəsini taparaq, ixtiyari monoxromatik dalğa üçün doğru olan düsturundan istifadə etməklə, həm fəza koordinatlarından, həm də zamandan asılı olan tam dalğa funksiyasını tapa bilərik. olduğunu nəzərə alsaq, bu tam dalğa funksiyasını

kimi yaza bilərik
Tənliyi konservativ sahədə, yəni elektronun potensial eneıjisinin zamandan aşkar şəkildə asılı olmadığı halda /enerjinin saxlanması qanunu ödənən halda/ hərəkət edən elektron üçün stasionar Şredinger tənliyidir. Zamandan asılı olan Şredinger tənliyini isə ümumi şəkildə

kimi yazmaq olar. Konservativ sahədə, yəni potensial eneıjinin zamandan aşkar şəkildə asılı olmadığı halda [U(r,t)= U(r)] həmişə belə hesab etmək olar ki, funksiyasınm zamandan asılılığını "monoxromatik vuruğu" ilə nəzərə almaq mümkündür. Bu halda tənliyini

kimi yazaraq və düstura əsasən

olduğunu nəzərə alaraq

ifadəsini yaza bilərik.
İfadələrində əsasən

işarə edərək uyğun, uyğun Şredinger tənliyini

və ya

kimi yazırlar. İfadəsi ilə təyin olunur və xarici sahədə hərəkət edən bir dənə hissəcik üçün Hamilton operatoru adlanır Yuxarıda qeyd etdiyimiz kimi, bir hissəcik üçün stasionar (zamandan asılı olmayan), isə zamandan asılı olan ümumi Şredinger tənliyidir.
Nəhayət, bir məsələni də qeyd edək. Şredinger tənliyini qurarkən biz tənliyinin həllinin əvəzinə bu həllə kompleks qoşma olan

funksiyasını da götürə bilərdik. Tənlikləri də uyğun qaydada dəyişməli və (r, t) funksiyası üçün yazılmalıdır. Onda tənliyi

kimi yazılmalıdır. Lakin bir qədər sonra görəcəyik ki, (r,t) dalğa funksiyasının özünün fiziki mənası yoxdur, yalnız onun modulunun kvadratı, yəni ²= kəmiyyəti fiziki məna kəsb edir. Ona görə də Şredinger tənliyinin (r,t) və ya r,t) funksiyası üçün yazılmasının heç bir fərqi yoxdur.
Şredinger tənliyi ümumi tənlik olmalıdır, yəni o, yalnız xüsusi məsələlərin deyil, bütün məsələlərin həlli üçün yararlı olmalıdır. Ona görə də bu tənliyə hərəkətin xüsusi növlərini ayıran parametrlərin qiymətləri (məsələn, başlanğıc şərtlər, qüvvə sahələrinin konkret növü və s) daxil olmamalıdır. Həmin tənliyə dünyəvi sabitlər (məsələn, Plank sabiti), hissəciklərin kütlələri və impulsları daxil ola bilər, lakin onların ədədi qiymətləri konkretləşdirilməməlidir. Hissəciyin hərəkətinin baş verdiyi qüvvə sahələri də Şredinger tənliyində ümumi şəkildə təmsil olunmalıdır. Bir sözlə, Şredinger tənliyi də, klassik mexanikanın və elektrodinamikanın yalnız xüsusi məsələlərini deyil, bütün məsələlərini həll etmək üçün yararlı olan Nyuton və Maksvel tənlikləri kimi ümumi tənlik olmalıdır. Bundan başqa, tələb edilir ki, Şredinger tənliyi funksiyasına nəzərən xətti və bircinsli olmalıdır. Bu tələb isə, maddə dalğalarının interferensiya və difraksiyasının diktə etdiyi superpozisiya prinsipinin ödənməsi zəruriliyindən doğur. Göründüyü kimi, və ya Şredinger tənliyi bu şərtlərin hamısını ödəyir.
Ümumi Şredinger tənliyində maddənin ikili, yəni korpuskul-dalğa xassəsi qeyri-aşkar şəkildə artıq nəzərə alınmışdır. Belə ki, dalğa funksiyasının şərhinə görə hissəcik lokallaşmamışdır və deyildiyi kimi, fəzada müəyyən ehtimalla "yayılmışdır". İlk baxışdan elə görünə bilər ki, tənliyi yazarkən bu vəziyyət lap əvvəldən nəzərə alınmalı idi, yəni u kəmiyyəti, hissəciyin bütün mümkün olan hallannın və bu halların ehtimallarının nəzərə alınması ilə yazılan potensial enerji olmalı idi. Əslində isə həmin tənliklərdə u kəmiyyəti heç də belə nəzərdə tutulmur. Belə ki, tənliklərində u(r,t) potensial funksiyasına, klassik fizikada olduğu kimi, qüvvə sahəsində lokallaşmış, xüsusi halda isə nöqtəvi hissəciyin potensial enerjisi kimi baxılır. Məsələn, hidrogen atomunda nüvənin yaratdığı Kulon sahəsində elektronun potensial enerjisi üçün u(r)=-e²lr götürülür, yəni belə hesab edilir ki, hər iki hissəcik lokallaşmışdır.
Şredinger tənliyi zamana görə birinci tərtib diferensial tənlikdir. Buradan görünür ki, bütün fəzada hər hansı zaman anında (məsələn, başlanğıc kimi götürülən zaman anında) (r, t) funksiyasınm verilməsi ilə həmin funksiya bütün sonrakı zaman anlarında da bütün fəzada verilmiş olur. Lakin bu müddəaya kvant mexanikasında səbəbiyyət prinsipinin ifadəsi kimi baxmaq olmaz, çünki bu müddəa ilə ifadə olunan "səbəbiyyət prinsipi" yalnız dalğa funksiyasına aiddir. pdalğa funksiyası isə real müşahidə olunan obyektlərlə ehtimal münasibətləri ilə əlaqədardır. Məhz buna görə də kvant mexanikası heç olmasa özünün müasir formasında, prinsipcə statistik nəzəriyyədir.
Şredinger tənliyi doğrudursa, onda bu tənlikdən xüsusi limit halı kimi klassik mexanikadan məlum olan Hamilton-Yakobi tənliyi alınmalıdır. Bu limit halında elektronun dalğa xassəsi yox olmalıdır, yəni elektron üçün de-Broyl dalğasının uzunluğu olmalıdır. Məlumdur ki, olduqda dalğanın fazası şərtini ödəyir. Digər tərəfdən, düsturundan göründüyü kimi, və olması üçün olmalıdır. Bu nəticəni düsturdan da dərhal almaq olar. olması üçün olmalıdır. Deməli, bir sözlə, kvant mexanikasından klassik fizikaya keçid üçün limit şərti olur. Bu müddəanın doğruluğuna inanmaq üçün Şredinger tənliyinin həlli olan funksiyasının

ifadəsində, düstura əsasən yazaraq yeni s (r,t) funksiyasına keçək:

Burada dalğasının fazası, s(x,y,z,t) isə düsturu ilə təyin olunan təsir inteqralıdır.
Funksiyasını Şredinger tənliyində yazaq və bu tənliyə daxil olan ikinci tərtib törəmələri tapaq:

Beləliklə, aydın olur ki,

ifadəsini nəzərə alsaq və hər iki tərəfi vuruğuna ixtisar etsək

və ya

alırıq ki, bu da düsturuna əsasən, Hamilton-Yakobi tənliyi ilə üst-üstə düşür. Qeyd edək ki, tənliyi Şredinger tənliyinə tam ekvivalentdir. Əgər biz tənliyini dəqiq həll edə bilsək, onda düsturuna əsasən (r, t) funksiyasının da dəqiq ifadəsini tapmış oluruq.