Bilimlendiriw ministrligi

7.5-keste 
Kvadratlar kestesi 
 
Bir bas sıyırǵa 
tuwra kelgen 
jıllıq jem 
qárejeti, c 
Sıyırlar boyınsha sawıp alınǵan sút (х
2
) 
Jámi 
kvadratla
r 
summası 
Jıyındı 
kvadratı 
1 
2 
3 
4 
5 
32 
912,04 
729,00 
1030,41 
918,09 
835,21 
4424,75 
22052,25 
34 
998,56 
1056,25 
1014,61 
- 
- 
3072,42 
9216,00 
36 
1095,61 
841,00 
1156,00 
1218,01 
- 
4310,62 
17161,00 
Jámi 
3006,21 
2626,25 
3201,02 
2136,10 
835,21 11807,79 
141000,25 
Bul dispersiya ayrım sıyırlardan sawıp alınǵan sút penen ulıwma sıyırlardan 
sawıp alınǵan sút sawını ortasındaǵı ózgeris kvadratınıń jıyındısına teń bolıp, tek 
ǵana bir faktor tásirine emes, bálki basqa tosınarlıq faktorlar tásirinede baylanıslı. 

𝑔𝑟
2
= 𝑛 ∙ ∑(𝑥̅
𝑗
− 𝑥̅)
2
= ∑
(∑ 𝑥)
2
𝑛
−
∑ 𝑥
2
𝑁
gruppalardaǵı birlikler sanı birdey bolmaǵan jaǵdayda. 

𝑔𝑟
2
= [
(∑ 𝑥
1
)
2
𝑛
1
+
(∑ 𝑥
2
)
2
𝑛
2
+ ⋯ +
(∑ 𝑥
𝑚
)
2
𝑛
𝑚
] −
(∑ 𝑥)
2
𝑁
Bul jerde:
m
-gruppalar sanı; 
n
-hár bir gruppadaǵı birlikler sanı. 

---

113 

𝑔𝑟
2
= [
(
∑
𝑥
1
)
2
𝑛
1
+
(
∑
𝑥
2
)
2
𝑛
2
+
(
∑
𝑥
3
)
2
𝑛
3
]
−
(
∑
𝑥)
2
𝑁
=
[
22052,25
5
+
9216,00
3
+
17161,00
4
]
−
141000,25
12
=
[
4410,45 + 3072,00 + 4290,25
]
− 11750,02 = 22,68
Bul dispersiya ayırım sıyırlardaǵı sawın menen ulıwma ortasha sawın 
ortasındaǵı ózgeris kvadratı jıyındısınıń baqlawdaǵı tákrarlanıwlar sanına 
(mısalımızda 5 tákrarlanıw, yaǵnıy 5 sıyır sanına) bolǵan kóbeymege teń. 
Gruppalar ara dispersiya úyrenilip atırǵan faktordıń tásir kúshin ańlatadı. 
Qaldıq yaki gruppalar ishindegi dispersiya ulıwma dispersiya menen 
gruppalar ara dispersiyalar ortasındaǵı ózgeriske teń bolıp, tosınarlıq faktorlar 
tásirin kórsetedi:

𝑞(1)
2
= ∑(𝑥
1
− 𝑥̅
1
)
2
= ∑ 𝑥
1
2
−
(∑ 𝑥
1
)
2
𝑛
1

𝑞(2)
2
= ∑(𝑥
2
− 𝑥̅
2
)
2
= ∑ 𝑥
2
2
−
(∑ 𝑥
2
)
2
𝑛
2
Biziń mısalımızda: 

𝑞(1)
2
= ∑ 𝑥
1
2
−
(∑ 𝑥
1
)
2
𝑛
1
= 4424,75 −
22052,25
5
= 14,30
 

𝑞(2)
2
= ∑ 𝑥
2
2
−
(∑ 𝑥
2
)
2
𝑛
2
= 3072,42 −
9216,00
3
= 0,42
 

𝑞(3)
2
= ∑ 𝑥
3
2
−
(∑ 𝑥
3
)
2
𝑛
3
= 4310,62 −
17161,00
4
= 2037
 
Gruppalar ishindegi ózgerisler kvadratlarınıń jıyındısın tabamız: 

𝑞
2
=

𝑞(1)
2
+

𝑞(2)
2
+

𝑞(3)
2
= 14,30 + 0,42 + 2037 = 35,09
Dispersiyalardı qosıw qaǵıydasına muwapıq: 

𝑢𝑚
2
=

𝑔𝑟
2
+

2
57,77=22,68+35,09 

---

114 
Ózgerisler kvadratları ortasındaǵı baylanısqa tiykarlanıp qaldıq dispersiyanı 
tómendegishe esaplaymız: 

𝑞
2
=

𝑢𝑚
2
−

𝑔𝑟
2

𝑞
2
= 57,77 − 22,68 = 35,09
Anıqlanǵan hár bir dispersiya ushın variaciya qatarlarında erkin ózgeriwshi 
birlikler sanı anıqlanadı. Erkin ózgeriwshi birlikler sanı degenimizde variaciya 
qatarlarında ortasha muǵdar mánisiniń ózgeriwine absolyut tásirsiz bolǵan birlikler 
sanı túsiniledi. 
Málim bolǵanınday, statistikada hár qanday kórinistegi ortasha esaplanıp 
atırǵanda erkin muǵdarlar qatnasadı. Máselen, arifmetikalıq ortasha muǵdar 
esaplanıp atırǵanda baqlawdaǵı barlıq birlikler sanı qatnasadı, sol maǵanada olar 
bir-biri menen baylanıspaǵan halda boladı. Sonıń ushın da birlikler muǵdarlarınıń 
jıyındısı variantlar sanına, yaǵnıy 
n
ge bólinedi. Ortasha ózgeshelik esaplanǵanda 
erkin ózgeriwshi birlikler sanı 
n
emes, bálkim 
n-1
boladı. Sonlıqtan 
n-1
sanlı 
ózgeris ortasha salıstırmalı erkin ózgeriwshi birlik bolıp, qálegen muǵdarda iye 
bolıwı múmkin. Qalǵan bir birlik (ózgeris) bolsa qatań belgilengen turaqlı birlik 
boladı.
Erkin ózgeriwsheń birlikler sanı ortasha esaplanǵan birlikler sanınıń birge 
kemine teń. Demek, erkin ózgeriwshi birlikler sanın tabıw ushın tiyisli 
dispersiyalarǵa derek birlikler sanınan (n) 1 sanın ayırıw kerek: 

= 𝑛 − 1
 
Ulıwma disperciya ushın bul san 11 birlikke teń: 

𝑢𝑚
= 𝑛 − 1 = 12 − 1 = 11
Gruppalıq disperciya ushın bul san 9 birlikke teń: 

𝑔𝑟
=

𝑢𝑚
−

𝑔𝑟
= 11 − 2 = 9
 
Erkin ózgeriwshi birlikler sanına tuwra kelgen disperciya dárejesin anıqlaw 
ushın gruppalar hám qaldıq disperciyalar mánislerin olarǵa tiyisli bolǵan erkin 
ózgeriwshi birlikler sanına bólemiz. Bul menen hár bir erkin ózgeriwshi birlik 
sanına tuwra keliwshi disperciya mánisi anıqlanadı: 

---

115 

𝑔𝑟
=

𝑔𝑟
2
𝑚 − 1
=
22,68
2
= 11,34
 

𝑞
=

𝑞
2
(𝑁 − 1) − (𝑚 − 1)
=
35,09
9
= 3,90
 
Endi F
haq
menen gruppalar ara hám qaldıq dispersiyalar qatnası anıqlanadı, 
yaǵnıy: 
𝐹
ℎ𝑎𝑞
=

𝑔𝑟

𝑞
> 1
Kórinip turǵanınday, 
F
haq
tek ǵana faktor belgi ǵana emes, bálki tosınarlıq 
baylanıslı bolǵanın kóremiz. Saylanba toplamda baqlaw birlikleri kóbeyip barıwı 
menen 
F
haq
1 sanına jaqınlasıp baradı hám saylanba dispersiya bas toplamdı 
anıǵıraq хarakterleydi. Tek tosınarlıq faktorlar sebebi menen ózgeriste bolǵan bir 
bas toplamınıń saylap alınǵan birlikler tiykarında esaplanǵan dispersiya ushın 
F 
tiń 
teoriyalıq mánislerin anglichan alımı R. Fisher esaplap shıqqan. 
F
keste
mánisleri 0,05 hám 0,01 (5 procentli hám 1 procentli) itimallıq 
dárejelerinde anıqlanadı. 0,05 itimallıq dárejedegi 
F
keste
mánise degende tosınanlı 
variaciyanı хarakterlewshi 
F
haq
tıń júz mánisinen tek ǵana besewi 
F 
tiń kestedegi 
mánisine sáykes keliwi hám
 
onnan úlken bolıw
 
túsiniledi. 0,01 itimallıq dárejedegi 
itimallıqta 
F
haq
tıń mánisinen tek ǵana birewi 
F 
tiń kestedegi mánisine sáykes 
keliwi hám
 
onnan úlken bolıw
 
múmkin.
F
keste
mánisi 
F
haq
mánisine isenim bahasın beriw ushın qollanıladı. Eger 
F
haq

F
keste
bolsa, onda úyrenilip atırǵan faktor belginiń nátiyjelik belgige tásiri 
kúshli boladı. Eger 
F
haq

F
keste
bolsa, onda dispersiya ortalarındaǵı parq tosınanlı 
faktorlarǵa baylanıslı, baqlaw nátiyjeleri isenimsiz, dáliylenbegen hám faktor 
belginiń tásir kúshi barlıǵı tiykarlanbaǵan degen juwmaqqa keliw múmkin. 
Mısalımızda: 
𝐹
ℎ𝑎𝑞
=

𝑔𝑟

𝑞
=
11,34
3,90
= 2,91
Gruppalar ara dispersiya qaldıq dispersiyadan derlik úsh ese úlken. Sonday 
bolsa, «nolge teń gipoteza»ǵa tiykarlanıp dispersiyalar ortasındaǵı ózgeris 

---

116 
tosınarlıq хarakterge iye, sıyırlardı baǵıw dárejesi bolsa, sawın muǵdarına jeterli 
tásir qılmaǵan dep boljayıq. Bunday boljawdı qabıl etiw yaki biykarlaw ushın 
pikirlerimizdi isenimli tiykarda tekseremiz biziń mısalısmızda bul R=0,05 dárejeli 
boladı. Salıstırılǵan dispersiyalardaǵı erkin ózgeriwi birlikler sanı qarama-
qarsılarında (

𝑔𝑟
= 2
hám 

𝑞
= 9
): 
𝐹
𝑘𝑒𝑠𝑡𝑒
= 4,26
teń. 
Demek, 
𝐹
ℎ𝑎𝑞
< 𝐹
𝑘𝑒𝑠𝑡𝑒
, 2,91<4,26 eken, joqarıdaǵı boljawdı biykarlawǵa 
orın joq. Gruppalar ortashaları ortasındaǵı ózgeris sıyırlardı baǵıw dárejesine emes, 
bálki kóbinshe basqa tosınarlıq faktorlarǵa baylanıslı eken. 
Tómendegi 7.6-kestede dispersiyalıq analizdi ulıwmalastırıp хarakterlewshi 
kórsetkishlerdi keltiremiz.