Boshlangich funksiya va aniqmas integral tushunchalari

Aniq integral tushunchasi
Aniq integral matematik analiz va integrallar nazariyasidagi asosiy tushunchalardan biridir. U ma'lum oraliq yoki diapazondagi funktsiya grafigi ostidagi maydon yoki to'plangan qiymatni hisoblash uchun ishlatiladi. Aniq integral odatda quyidagicha ifodalanadi:
∫ab​f(x)dx
∫∫-- integral belgisi.
a va b - integratsiya chegaralari, integratsiya sodir bo'ladigan intervalni cheklash.
f(x) - grafigi biz tahlil qilayotgan integral funksiya.
dx - o'zgaruvchining differentsial elementi x, qaysi o'zgaruvchiga nisbatan integratsiya amalga oshirilganligini ko'rsatadi.
Aniq integral funksiya grafigi orasidagi maydonni topish imkonini beradi f(x) va x o'qi berilgan [a,b] oraliqda. Agar f(x) bu oraliqda musbat bo‘lsa, aniq integral funksiya grafigining ostidagi maydonni ifodalaydi. Agar f(x) oraliqda manfiy bo’lsa, aniq integral “salbiy maydon”, uning mutlaq qiymati esa maydon hisoblanadi.
Amalda aniq integralni f(x) funksiya uchun F(x) funksiyaning anti hosilasi topib, so‘ngra integral hisobining Asosiy teorema teoremasini qo‘llash orqali hisoblash mumkin:
∫ab f(x)dx=F(b)−F(a)Bu yerda F(x) funksiyaning anti hosilasi
f(x). Ya'ni, aniq integral integratsiyaning yuqori chegarasidagi antiderivativ qiymatining farqiga teng (
F(b)) va integratsiyaning pastki chegarasida (F(a)).
Aniq integrallar fizika, iqtisod, muhandislik va boshqa fanlarda ko'p qo'llaniladi. Ular sizga miqdorlar, hajmlar, ishlarning umumiy o'zgarishini, funktsiyalarning o'rtacha qiymatlarini va boshqalarni topishga imkon beradi.
Aniq integralli hossalari va hisoblash usullari
Aniq integrallarni hisoblash usullari:
To'rtburchak usuli: Interval kichik segmentlarga bo'linadi va har bir kichik bo'limda funksiya to'rtburchak bilan yaqinlashadi. Keyin bu to'rtburchaklar maydonlarining yig'indisi hisoblanadi.

Trapezoidal usul: Interval kichik segmentlarga bo'linadi va har bir kichik bo'limda funksiya trapetsiya bilan yaqinlashadi. Keyin bu trapetsiyalarning maydonlari yig'indisi hisoblanadi.
Simpson usuli: Interval kichik segmentlarga bo'linadi va har bir kichik segmentda funktsiya parabola bilan yaqinlashadi. Keyin bu parabolalarning maydonlari yig'indisi hisoblanadi.
O'zgaruvchan usulni o'zgartirish: Agar integralni elementar funktsiyalarda ifodalash qiyin bo'lsa, siz integralni soddalashtirish uchun o'zgaruvchini o'zgartirishga urinib ko'rishingiz mumkin.
Integral jadvallar: Standart funksiyalar uchun ma lum integrallar yordamida aniq integrallarni topish imkonini beruvchi integral jadvallar mavjud.
Qisman kasrlar usuli: Ratsional funksiyalarni oddiy integral bo'laklar yig'indisiga kengaytirish uchun ishlatiladi.
Raqamli usullar: Agar integralni hisoblashning analitik usuli imkoni bo'lmasa, integralni taxminan hisoblash uchun Monte-Karlo usullari kabi raqamli usullardan foydalanish mumkin.