Buxoro davlat pedagogika instituti Matematika va informatika yo’nalishi

Uch noma’lumli uchta chiziqli tenglamalar sistemasini yechish.
Uch noma’lumli uchta chiziqli tenglamalar sistemasi
(3)
berilgan boʻlsin. Bu sistemaning yechimini topish uchun quyidagi determinantlarni tuzamiz.

Bu determinantlardan foydalanib (3) – sistemaning yechimlari 0 boʻlganda quyidagi Kramer formulalaridan topiladi: (4)
a) Agar 0 boʻlsa, sistema bitta yechimga ega boʻladi.
b) Agar =0, 0, 0, 0 boʻlsa, (3) –sistema yechimga ega emas.
v) Agar =0, =0, =0, =0 (3) sistema cheksiz koʻp yechimga ega boʻladi.
Misol.
Yechish.


Tekshirish.
Demak, yechimboʻladi.
Uch noma’lumli uchta chiziqli tenglamalar sistemasining oʻng tomoni nolga teng boʻlsa, unga bir jinsli sistema deb ataladi: bir jinsli sistema doim nol (trivial) yechimga ega, ya’ni (0;0;0) uchlik doim yechim boʻladi.
Teorema1. Agar 0 boʻlsa, u holda bir jinsli sistema yagona x=y=z=0 yechimga ega.
Chiziqli tenglamalar sistemasini matritsa yordamida yechish.
n ta noma’lumli n ta chiziqli tenglamalar sistemasi berilgan boʻlsin:
(1)
Ushbu belgilarni keltiramiz:
(2)
U holda berilgan sistemani bu matritsalar yordamida quyidagicha yozish mumkin:
(3)
Agar A matritsa xosmas, ya’ni boʻlsa A^-1 teskari matritsa mavjud boʻlib, quyidagi tengliklarning toʻgʻriligini koʻrish mumkin:
(4)
Shunday qilib, tenglamalar sistemasini yechish uchun A matritsaga teskari matritsani topib uni ozod xaddan tuzilgan B ustun matritsaga koʻpaytirish yetarli ekan. Sistemani yechishning bunday usulini matritsa usuli deyiladi [2,3,5,6].
Misol: sistemani yeching.
Yechish. Matritsalarni tuzib olamiz:
,
demak, teskari matritsa mavjud ekan. Uni tuzish uchun barcha algebraik toʻldiruvchilarni topib olamiz.


Demak,

(4) formuladan foydalib noma’lumlarni topamiz:

Javob: x=1, y=-1, z=2.