Buxoro davlat universiteti

Funksional ketma-ketlikning tekis yaqinlashuvchanligi. Faraz qilaylik, :

funksional ketma-ketlik to’plamda yaqinlashuvchi (ya’ni yaqinlashish to’plami ) bo’lib, uning limit funksiyasi bo’lsin:

.

Ma’lumki, bu munosabat

bo’lishini anglatadi. Shuni ta’kidlash lozimki, yuqoridagi natural son ixtiyoriy olingan son bilan birga qaralayotgan nuqtaga ham bog’liq bo’ladi (chunki, ning turli qiymatlarida ularga mos ketma-ketlik, umuman aytganda turlicha bo’ladi).

1.1.3-ta’rif. Agar son olinganda ham shu bog’liq bo’lgan natural son topilsaki, va ixtiyoriy da

tengsizlik bajarilsa, ya’ni

bo’lsa, funksional ketma-ketlik to’plamda ga tekis yaqinlashadi (funksional ketma-ketlik to’plamda tekis yaqinlashuvchi) deyiladi.

Shunday qilib, funksional ketma-ketlik to’plamda limit funksiyaga ega bo’lsa, uning shu limit funksiyasiga yaqinlashish ikki xil bo’lar ekan:

bo’lsa, funksional kema-kelik da ga yaqinlashadi (oddiy yaqinlashadi). Bu holda

kabi belgilanadi.

bo’lsa, funksional ketma-ketlik da ga tekis yaqinlashadi. Bu holda

kabi belgilanadi.

Ravshanki, funksional ketma-ketlik to’plamda funksiyaga tekis yaqinlashsa u shu to’plamda ga yaqinlashadi:

.

Aytaylik,

bo’lsin . Bu holda va da

, ya’ni

bo’ladi.

Faraz qilaylik, funksional ketma-ketlik to’plamda limit funksiyaga ega bo’lsin.

1.1.1-teorema. funksional ketma-ketlik to’plamda funksiyaga tekis yaqilashishi uchun

bo’lishi zarur va yetarli.

Zarurligi. Aytaylik,

bo’lsin. ta’rifga binoan

bo’ladi. Bu tengsizlikdan

bo’lib, undan

bo’lishi kelib chiqadi.

Yetarliligi. Aytaylik

bo’lsin. Limit ta’rifga ko’ra

bo’ladi. Ravshanki

.

U holda uchun

bo’ladi. Bundan

bo’lishi kelib chiqadi.

Eslatma. Agar funksional ketma-ketligi uchun to’plamda

bo’lsa, funksional ketma-ketlik da tekis yaniqlashishi shart emas.

Endi funksional ketma-ketlikning limit funksiyaga ega bo’lishi va unga tekis yaqinlashishini ifodalovchi teoremani keltiramiz: