Chiziqli algebrya va analitik geometriya elementlari

X – AX = Y yoki (E - A)X = Y (2)

Bu yerda, E – n-tartibli birlik matritsa bo`lib, A=(a_ik) – bevosita xarajat koeffitsientlari matritsasi yoki texnologik matritsa.

a_ik kattaliklarni o`zgarmas deb qaraymiz. (2) tenglamaga Leontьev-ning chiziqli modeli deyiladi. Agar Y = θ bo`lsa, Leontьev modeli yopiq, Y≠ θ bo`lganda esa model ochiq deyiladi.
Masala quyidagi hollarning biri ko`rinishida qo`yilishi mumkin:

1. 
   yakuniy mahsulot hajmlari vektori Y ga qarab, sistema yalpi mahsulot hajmi vektori X ni hisoblash;
   
2. 
   X ga qarab, Y ni hisoblash.
   

Rejalashtirishni asosiy masalalaridan biri bu birinchi masaladir, ya`ni Y vektorning berilishiga qarab, X vektorni hisoblashdir. Leontьev-ning ochiq modeliga tegishli asosiy masala – tegishli model ixtiyoriy yakuniy ehtiyoj Y ni qondira oladimi, degan savolga javob berishdan iborat. Ma`nosiga ko`ra X nomanfiy bo`lgani uchun iqtisodiy sistema A matritsa qanday bo`lganda nomanfiy yechimga ega bo`lishini tekshirishdan iborat.
X₀ - AX₀ vektorning nomanfiyligini ta`minlaydigan manfiymas X<sub>0</sub> vektor mavjud bo`lsa, A matritsaga (shu jumladan, modelga) samarali matritsa (model) deyiladi.
Ochiq model uchun A matritsaning samaralilik zaruriy va yetarli shartlari isbotlangan. Ularning biriga ko`ra, ochiq (2) model samarali bo`lishi uchun manfiymas A matritsaning barcha xos qiymatlari moduli bo`yicha 1 dan kichik bo`lishi yetarli.
Agar (2) modelda nomanfiy A matritsa samarali bo`lsa, u holda ixtiyoriy berilgan nomanfiy Y vektor uchun (2) tenglamalar sistemasi yagona manfiymas X yechimga ega bo`ladi. Boshqacha aytganda, har bir yakuniy mahsulot nomanfiy Y vektoriga, yagona manfiymas ishlab chiqarish hajmi X vektori mos keladi.
A matritsa samarali bo`lsa, nomanfiy (E-A)<sup>-1</sup> matritsa mavjud bo`lib, asosiy masala yechimi