Chiziqli algebrya va analitik geometriya elementlari

Tekislikda analitik geometriya elementlari.
Tekislikda to`g`ri chiziq


Tekislikda to`g`ri chiziqning turli ko`rinishdagi tenglamalari
Tekislikda koordinatalar sistemasini tanlash uning nuqtalarini anali-tik ifodalash imkonini beradi.
Analitik geometriyada tekislikdagi har qanday chiziq biror-bir umu-miy xossaga ega nuqtalar to`plami sifatida qaraladi. Tekislikda kiritilgan to`g`ri burchakli koordinatalar sistemasiga mos holda qaralayotgan chiziqning ixtiyoriy nuqtasining koordinatalari x va y orqali belgilansa, uning barcha nuqtalari uchun umumiy xossa x va y larga nisbatan teng-lama ko`rinishida ifodalanadi.
Shunday qilib, chiziqda yotuvchi ixtiyoriy nuqta koordinatalarini qanoatlantiruvchi x va y larga nisbatan F(x, y) = 0 tenglamaga chiziq tenglamasi deyiladi yoki F(x, y) = 0 tenglama chiziqni aniqlaydi de-yiladi.
Tekislikda to`g`ri burchakli koordinatalar sistemasi tanlangan bo`lsin. To`g`ri chiziqning tekislikdagi tanlangan koordinatalar sistemasiga nisbatan vaziyatini ushbu to`g`ri chiziqning biror-bir M₀(x₀; y₀) nuqtasi va to`g`ri chiziqqa perpendikulyar nolmas n(A;B) (A² + B² ≠ 0) vektor yoki to`g`ri chiziqqa parallel nolmas s(m; n) (m² + n² ≠ 0) vektor to`liq aniqlaydi. n vektor to`g`ri chiziqning normal vektori, s vektor esa yo`naltiruvchi vektori deyiladi (1-rasm).

1-rasm. 2-rasm.

Koordinatalar sistemasining boshidan o`tmaydigan to`g`ri chiziqni oxiri to`g`ri chiziqda joylashgan uning yagona a normal radius vektori birga-bir aniqlaydi (2-rasm).

To`g`ri chiziqning ixtiyoriy M(x; y) nuqtasi uchun n(A; B) va M₀M (x-x₀; y-y₀) vektorlarning skalyar ko`paytmasi nolga teng:

(n, M₀M) = 0

yoki koordinatalarda
A(x–x₀) + B(y–y₀) = 0.
Tenglamalar nuqtasi va normal vektori bilan berilgan to`g`ri chiziq-ni aniqlaydi.
A x + B y + C = 0 , ( A² + B² ≠ 0 ) (1)
ko`rinishdagi tenglamaga tekislikda to`g`ri chiziqning umumiy tenglamasi deyiladi. To`g`ri chiziq umumiy (12.1) ko`rinishdagi tenglamasi bilan berilgan bo`lsa, quyidagi tasdiqlar o`rinli:
a) Agar C = 0 bo`lsa, A x + B y = 0 to`g`ri chiziq koordinatalar boshidan o`tadi;
b) n(A; B) nolmas vektor (1) ko`rinishdagi to`g`ri chiziqning normal vektoridir.
Agar umumiy tenglamada A B C ≠ 0 munosabat o`rinli bo`lsa, (1) tenglama quyidagi ko`rinishga keltiriladi:


(2)

(2) tenglama to`g`ri chiziqning kesmalardagi tenglamasi deyiladi.

Agar (1) tenglamada B ≠ 0 bo`lsa, umumiy tenglama to`g`ri chiziq-ning burchak koeffitsientli tenglamasi deb ataluvchi

y = kx + b (3)

ko`rinishga keltiriladi, bu yerda, k = tgφ – to`g`ri chiziqning burchak koeffitsienti, φ - to`g`ri chiziq bilan ox abssissa o`qining musbat yo`nalishi orasidagi burchak kattaligi va b = y(0) – boshlang`ich ordinata.

To`g`ri chiziqning ixtiyoriy M(x; y) nuqtasi uchun s(m; n) va M₀M(x–x₀; y–y₀) vektorlar o`zaro kollinear, demak