Chiziqli funktsiyalar bo’ladigan bo’lsa, bunday masalalar matematikada chiziqli programmalashtirish masalalari deb ataladi

Optimallashtirishning variatsion hisoblash usuli
Yuqorida ko’rilgan masalalarning barchasida maqsadli va chegaraviy munosabatlar aniqlanishi kerak bo’lgan parametrga nisbatan funktsiyalar sifatida berilgan edi.
TS ni loyihalashda, ba’zi hollarda maqsadli munosabatlar va chegaraviy munosabatlar funktsiyalar emas funktsionallar sifatida ifodalanadi. Bunday masalalarning optimal echimlarini aniqlash uchun variatsion hisoblash usulidan foydalangan maqsadga muvofiq.
Aytaylik, x, u dy/dx o’zgaruvchilarga ega bo’lgan ikki marta differentsiallanuvchi Ғ funktsiya va uning x₁ x₂ orasidagi aniq integrali
(25)
berilgan bo’lsin va shu integralni optimallashtiruvchi y=u(x) funktsiyani topish kerak bo’lsin.
Variatsion hisoblashda izlanayotgan funktsiya quyidagi Eyler shartiga mos bo’lishi kerak

bunda (26)
Chegara qo’yilishi keyinroq ko’riladi. Eyler shartini qo’llanilishini yaxshi tushunib olish uchun avvalo quyidagi osonroq masalani ko’raylik (16-rasm)

16-rasm. Variatsion hisoblash usulini tushunishga doir

A va V nuqalarni tutashtiruvchi u=u(x) shunday funktsiya aniqlansinki, shu funktsiya grafigi bo’yicha harakatlangan A V chizig’i uzunligi minimal bo’lsin. Кonkretroq bo’lishi uchun A nuqta koordinatalari (x=0; u=0), V nuqta koordinatalari (x=1; u=1) bo’lsin. Rasmga asosan minimallashtirish kerak bo’lgan integral quyidagicha ifodalanadi

Demak, F funktsiya quyidagicha bo’ladi.

Bundan


Aniqlanganlarni Eyler shartiga qo’yamiz.

Differentsiali nolga teng bo’lgan funktsiya o’zgarmas miqdor bo’ladi. va bu miqdorni S bilan belgilasak

ni hosil qilamiz. Bu tenglamani y¹ ga nisbatan echsak

va oxirgini integrallab echsak

kelib chiqadi.
Bu izlanayotgan to’g’ri chiziq tenglamasi A va V nuqtalarning berilgan koordinatalarini hisobga olsak К=0; S/1-S₂=1 kelib chiqadi. Demak echim: Optimal funktsiya u=x bo’ladi.
Agar chegaraviy munosabatlar ham qo’yilgan bo’lsa Eyler sharti boshqacharoq bo’ladi. Aytaylik quyidagi berilgan integralni minimallashtiruvchi
(27)
chegaraviy munosabatlarni qanoatlantiruvchi u=u(x) funktsiya aniqlanishi kerak bo’lsin. Bunda К - o’zgarmas son. Bu holda

integralni minimalashtirish uchun Eyler sharti quyidagicha bo’ladi
(28)
Misol tariqasida quyidagini ko’raylik (17rasm)


17-rasm. Variatsion hisoblash usuli misoliga doir

A,V nuqtalarni tutashtiruvchi uzunligi minimal va grafigi ostidagi yuza S= /R. ga teng bo’lgan y=u(x) funktsiya aniqlansin. Nuqtalar koordinatalari rasmda keltirilgan oldingi misolda aniqlanganidek

Demak bu misol uchun,
va G=y

Eyler shartiga asosan

Oxirgi differentsial tenglamani echsak

da
va hosil bo’lgan tenglamaning ikkala tomonini ham kvadratga ko’tarib, quyidagi radiusi 1 ga teng va markazi (1;0) nuqtada bo’lgan aylana tenglamasini olamiz

va izlangan egri chiziq shu bo’ladi.

Shunday qilib optimal loyihalash jarayonlarida keng qo’llanilishi mumkin bo’lgan differentsiallash, Lagranj ko’paytuvchilari, sonli, chiziqli programmalashtirish va variatsion hisoblash usullari qisqacha ko’rib chiqildi.
Кo’rilgan usullar bo’yicha masalalarni echish amaliy va tajribaviy darslarning mazmunini tashkil qiladi.

Adabiyotlar:

1. 
   Основы автоматизированного проектирования. М.: Издательство МГТУ имени Н.Э Баумана, 2002. 333 с.
   
2. 
   Норенков И.П. Введение в автоматизированное проектирование технических устройств и систем. М.: Высш. шк., 1986. 304 с.
   
3. 
   Курейчик В.Н. и др. Математическое обеспечение конструкторско-технологического проектирования с применением САПР. М.: Машиностроение, 1990.
   
4. 
   Baydullaev A. Texnologik tizim elementlarini matematik modellashtirish asoslari. O’quv qo’llanma. Toshkent, 1996.
   
5. 
   Норенков И.П. Принципы построения и структуры САПР. М.: Машинострение, 1987.
   
6. 
   Корячко В.П. и др. Теоретические основы САПР. Учебник для вузов. М.: Машиностроение, 1987.