«Variatsion hisob va optimallashtirish usullari» fanidan ma’ruza darslari ishlanmalari

Shartli ekstremumga qo'yilgan variatsion masalalar
Kirish
I.Bob. Shartli ekstrеmumga qo`yilgan variatsion masalalarni yechish usularini ko'rinishi.
1.1. Bog`lanishlari chekli bo`lgan variatsion masalalar
1.2. Differensial bog’lanishlari bo’lgan shartli ekstremum masalalari
II.Bob.Shartli ekstremumga qo'yilgan variatsion masalalar ustuda amallar bajarish.
2.1.Bog`lanishlari chekli bo`lgan variatsion masala
2.2. Masalada ekstremumning zaruriy shartini qo’llash algoritmi.
Xulosa
Foydalanilgan adabiyotlar

Kirish
Izlanayotgan funktsiyalarga chegaraviy shartlar bilan bir qatorda boshqa qo’shimcha shartlar ham qo’yilgan variatsion hisob masalalari shartli ekstremum masalalari deyiladi.

Shartli ekstremumga qo'yilagan masalani yechish bog'lanishlar qatnashmaganda funksionalning ekstremumini tekshirishga keltiriladi.
Bog'lanishlardan qutilishning keltirilgan usuli, funksiyalarning shartli ekstremumini topishdagi Lagranj ko'paytuvchilari usuliga o’xshashdir.
bog'lanishlar mexanikada golonom bog'lanishlar deyiladi.
Kurs ishida ekstremumning zaruriy sharti, birinchi variatsiyaning ekstremum beruvchi funksiyada nolga tengligiga, ya’ni shartga tayanadi. masalaning masaladan asosiy farqi shundaki, undagi bog’lanishlar tenglamalarida hosilalar qatnashmoqda.
I.Bob. Shartli ekstrеmumga qo`yilgan variatsion masalalarni yechish usularini ko'rinishi.
1.1. Bog`lanishlari chekli bo`lgan variatsion masalalar
1.1. Masalaning qo`yilishi. Quyidagi shartlarni qanoatlantiruvchi joiz vektor funksiyalar to’plami ni qaraymiz:
a) funksiyalar kesmada aniqlangan va uzluksiz differensiallanuvchi bo’lsin, ya’ni - berilgan;
b) funksiyalar
(1)
chegaraviy shartlarni qanoatlantirsin, ya’ni egri chiziqlarning har biri mahkamlangan (qo’zg’almas) chegara nuqtalardan o’tadi, , berilgan sonlar;
c) funktsiyalar barcha lar uchun
, (2)
chekli bog’lanishlarni qanoatlantiradi., bunda funksiyalar barcha o’zgaruvchilari bo’yicha uzluksiz differensiallanuvchidir.
(2) tenglamalar o’zaro bog’lanmagan, ya’ni
,
hamda (2) bog’lanishlar (1) chegaraviy shartlarga muvofiqlashtirilgan.
Oxirgi jumlaning ma’nosi shundan iboratki, chegaraviy nuqtalar (2) tenglamalarni va bo’lganda qanoatlantirishi shart.
to’plamda
(3)
funksional berilgan, bu yerda funksiya o’zining barcha argumentlari bo’yicha ikkinchi tartibgacha uzluksiz xususiy hosilalarga ega, deb faraz qilinadi.
to’plamga tegishli joiz vektor funksiyalar ichida shunday vektor funksiyani topish kerakki, unda (3) funktsional ekstremumga erishsin, ya’ni
(4)
bo’lsin.
Qo’yilgan masala, funksionallarning shartli ekstremumini topish haqidagi masalalar sirasiga kiradi.
Sxema ekstremumning zaruriy sharti, birinchi variatsiyaning ekstremum beruvchi funksiyada nolga tengligiga, ya’ni shartga tayanadi.
Ma’lumki, (4) masala, bir o’zgaruvchili bir necha funksiyalarga bog’liq funksionalning ekstremumi haqidagi masaladan (4-ma’ruzaga q.) faqat (2) chekli bog’lanishlar mavjudligi bilan farq qiladi. Shuning uchun, funksionalning birinchi variatsiyasi uchun,
(5)
ifodadan foydalanamiz.
Modomiki, funksiyalar (2) chekli bog’lanishlarni qanoatlantirishlari shart ekan,
(6)
bu yerda - funksional ekstremumga erishadigan egri chiziq bo’lib, variatsiya ning oraliqda tanlangan qiymatida hisoblangan.
Shunday qilib, variatsiyalarning faqat tasini ixtiyoriy deb hisoblash mumkin (masalan, larni), qolganlari esa, (6) shartlardan aniqlanadi.
Endi (6) tenglamalarning har birini qandaydir funksiyaga hadma-had ko'paytirib va dan gacha bo'lgan chegaralarda integrallab,
(7)
munosabatlarni olamiz.
(5) va (7) munosabatlarni hadma-had qo'shsak,
(8)
hosil bo'ladi.
Agar
(9)
belgilashni kiritsak, bunda - Lagranj funksiyasi, - Lagranj ko'paytuvchilari deb ataladi, oxirgi tenglamani,
(10)
ko'rinishda yozish mumkin.
ta ko'paytuvchilarni shunday tanlaylikki, ular egri chiziq bilan birga ta
(11)
Eyler tenglamalari sistemasini qanoatlantirsin.
Bunday qilishning imkoniyati bor, chunki (11) sistema, (9) belgilashni hisobga olganda,

ko'rinishni oladi.
Ravshanki, (11) sistema larga nisbatan chiziqli va uning determinanti noldan farqli (masalaning qo'yilishidagi c) bandga ko'ra), demak, u

yechimga ega.
ko’paytuvchilar yuqoridagidek tanlanganda, (10) shart, quyidagi,
(12)
ko’rinishni oladi, bunda variatsiyalar o’zaro bog’lanmagan. U holda, variatsion hisobning masalasiga asosan (uni qo’llash uchun variatsiyalarning navbat bilan bittasini ixtiyoriy deb, qolganlarini nolga teng deb olish mumkin),
(13)
munosabatlarga ega bo’lamiz.
Nihoyat, (11) va (13) larni hisobga olib, egri chiziq va Lagranj ko’paytuvchilari
(14)
Eyler tenglamalari sistemasini qanoatlantirishi zarur degan xulosa qilish mumkin.
Shunday qilib, ta (1) chegaraviy shartlarni hisobga olgan holda, ta (14) va (2) tenglamalardan vektor funksiya va Lagranj ko’paytuvchilari topiladi.
Bayon qilingan natijani quyidagicha ifodalaymiz.
1-t e o r e m a((4) masalada ekstremumning zaruriy sharti). Agar (1) cheegaraviy shartlarni va (2) chekli bog’lanishlarni qanoatlantiruvchi vector funksiyada, bunda
(3) funktsional ekstremumga erishsa, funksiyalar.
funksional uchun tuzilgan

Eyler tenglamalari sistemasini qanoatlantiradi.