izoperimetrik masalani qaraymiz. funksiya bu masalaning yechimidir. Shu masala uchun Lagranj ko’paytuvchilari qoidasini qo’llab,
(10)
tenglamaga ega bo’lamiz, bu yerda funksiya (7) tenglik bilan aniqlanadi. (10) tenglamaga y*(x) stasioanar funksiyaga mos keluvchi Yakobi tenglamasi deyiladi.
9-ta’rif. Agar (10) Yakobi tenglamasi
shartlarni qanoatlantiruvchi trivial (aynan nol) bo’lmagan yechimga ega bo’lsa, nuqta nuqtaga qo’shma nuqta deyiladi.
Agar funksiya , kesmalarda chiziqli bog’lanmagan bo’lsalar, qo’shma nuqtalarni quyidagicha aniqlash mumkin: faraz qilaylik, bir jinsli (ya’ni ) Yakobi tenglamasining shartlarini qanoatlantiruvchi yechimi bo’lsin; – bir jinsli bo’lmagan ( ) Yakobi tenglamasining shartlarini qanoatlantruvchi yechimi bo’lsin; u vaqtda nuqta faqat va faqat
matrisa maxsus bo’lgan holdagina nuqtaga qo’shma nuqta bo’ladi.
11-teorema.Faraz qilaylik, , kuchsiz minimal (maksimal), – unga mos Lagranj vektori bo’lsin va funksiyalar ihtiyoriy uchun kesmalarda chiziqli bog’lanmagan bo’lsin. U holda quyidagilar bajariladi:
a) Lejandr sharti:
b) Yakobi sharti: intervalda nuqtaga qo’shma nuqta mavjud emas.
12-teorema. Faraz qilaylik, quyidagilar bajarilsin:
1) – ochiq to’plam;
2)
3)
4) shartli stasionar funksiya;
5) kuchaytirilgan Lejandr sharti:
6) kuchaytirilgan Yakobi sharti: oraliqda nuqtaga qo’shma nuqta mavjud emas.
U vaqtda y*(x) - izoperimetrik masalada kuchli lokal minimal (maksimal) bo’ladi.
13-teorema. Faraz qilaylik, (1)-(3) masalada – kvadratik funksioanal, ya’ni
bo’lsin, bu yerda funksiyalar kesmada uzluksiz differensiallanuvchi, funksiyalr esa uzluksiz. Bundan tashqari shart bajarilsin. U holda, agar Yakobi sharti bajarilmasa izoperimetrik masalada bo’ladi. Agar kuchaytirilgan Yakobi sharti bajarilsa, shartli stasionar funksiya mavjud, yagona va unda funksional global minimum (maksimum) ga yerishadi.
