Teskari funksiyaning mavjudligi haqidagi teoremaga ko’ra [а,b], shunday Ф1 silliq akslantirish va k>0 o’zgarmas mavjud bo’ladiki, yetarli kichik z-z* uchun
tengsizlik bajariladi. Hususiy holda, modul bo’yicha yetarli kichik ε son uchun shunday vektor topiladiki, tenglik bajariladi, ya’ni
va bunda
.
Shunday qilib, y*(x) joyiz funksiyaning ixtiyoriy birinchi tartibli atrofida shunday joyiz funksiya mavjudki, uning uchun
bajariladi. Bu yerda ε ning moduli bo’yicha yetarki kichik har xil ishorali qiymat qabul qilishini hisobga olsak, y* ning lokal ekstremal ekanligiga zid xulosaga kelamiz. Olingan qarama-qarshilik A akslantirish uchun regular hol bo’lmasligini ko’rsatadi. Teorema isbotlandi.
Isbotlangan teoremaga, izoperimetrik masala uchun Lagranj ko’paytuvchilari qoidasi deyiladi. Agar y*(x) ekstremalga Lagranj ko’paytuvchisi mos kelsa, deb olish mumkin.
8-ta’rif. Lagranj funksiyasi uchun tuzilgan (6) Eyler tenglamasini qanoatlantiruvchi y*(x) joyiz funksiyaga (1)-(3) masalaning shartli- stasionar funksiyasi deyiladi.
Ma’ruzamiz so’ngida izoperimetrik masala uchun ikkinchi tartibli zaruriy va yetarli shartlar haqida qisqagina to’xtalib o’tamiz. (to’liqroq ma’lumot uchun masalan [6] ga qarang).
Faraz qilaylik, joyiz stasionar funksiya, unga mos Lagranj vektori, bo’lsin. U vaqtda
