D. Djanabayev, Sh. Murodov, A. Xolmurzayev chizma geometriya

2-§. Asosiy geometrik tushunchalar va shakllar

Geometriyaning asosiy tushunchalaridan biri shakl (figura) lardir.

Ta’rif. Har qanday tartibda joylashgan nuqtalar to’plami geometrik shakl (figura) deyiladi.

Geometrik shakllarni tashkil qiluvchi nuqtalar to’plami bir nechta va cheksiz ko’p nuqtalardan tuzilgan bo’lishi mumkin.

Geometrik shakllar juda ko’p. Ammo shulardan eng asosiylari to’g’ri chiziq va tekislikdir. Nuqtalar, to’g’ri chiziqlar va tekisliklar orasida ma’lum munosabat o’rnatilgan bo’lib, buni yotishlilik yoki tegishlilik deb yuritiladi. Masalan, A nuqta A to’g’ri chiziqqa tegishli – A∈a; A nuqta R tekislikka tegishli – A∈R; A to’g’ri chiziq R tekislikka tegishli – a∈R va xokazo.
2.1. Nuqta. Nuqta eng boshlang’ich geometrik tushuncha bo’lib, u hajmsiz, yuzasiz, uzunlikka ega bo’lmagan geometrik element deb qabul qilingan. Nuqta chizmalarda shartli ravishda kichkina aylanacha ko’rinishida belgilanadi.
2.2. To’g’ri chiziq. Berilgan ikki nuqtadan o’tgan yagona geometrik shakl bu faqat to’g’ri chiziq bo’ladi. To’g’ri chiziqni bitta nurda yotuvchi nuqtalar to’plami deb ham qarash mumkin. To’g’ri chiziqning uzunligini haqiqiy miqdor bilan o’lchash mumkin emas. To’g’ri chiziq uzunligi cheksiz (∞) miqdordir. To’g’ri chiziq ikki nuqta bilan chegaralansa, to’g’ri chiziq kesmasi hosil bo’ladi. To’g’ri chiziq kesmasi haqiqiy miqdor o’lchoviga egadir.
To’g’ri chiziq ustidagi nuqtalar to’plamini ikki qismga – xos (chekli) va xosmas (cheksiz) nuqtalarga ajratish mumkin:

• 
  Xos A₁, A₂, A₃,… nuqtalarni berilgan A to’g’ri chiziq ustida belgilab yoki tanlab bo’ladi (1-rasm).
  
• 
  Cheksiz uzoqlikda joylashgan xosmas A_∞ nuqtani A to’g’ri chiziq ustida belgilab yoki tanlab bo’lmaydi.
  
• 
  Har bir to’g’ri chiziqda faqat bitta xosma nuqta mavjuddir.
  

1-rasm.
2.3. Tekislik. Tekislik ustida cheksiz ko’p nuqtalar va to’g’ri chiziqlar mavjuddir. Shunga ko’ra, tekislikni nuqtalar yoki to’g’ri chiziqlar to’plamidan iborat deb qarash mumkin. Aniq sonli nuqtalar yoki to’g’ri chiziqlar berilganda tekislik berilgan hisoblanadi.
Tekislikda yotuvchi to’g’ri chiziqlarni ham ikki turga – xos (chekli) va xosmas (cheksiz) larga ajratish mumkin:

• 
  Xos to’g’ri chiziqlarni tekislikda chizish va vaziyatini belgilash mumkin (2,a-rasm).
  
• 
  Tekislikka tegishli bo’lgan har qanday ikki to’g’ri chiziq umuman kesishadi. Agar bu to’g’ri chiziqlar o’zaro parallel bo’lsalar, u holda ular xosmas nuqtada (2,b-rasm), agar parallel bo’lmasalar, u holda xos nuqtada (2,a-rasm) kesishadilar.
  
• 
  Tekislikning xosmas chizig’i tekislikda yotuvchi ikki ixtiyoriy to’g’ri chiziqning xosmas nuqtalarini tutashtirish bilan hosil qilinadi (2,v-rasm).
  

a) b)



c)
2-rasm.

Ma’lumki, tekislikdagi har bir to’g’ri chiziq bitta xosmas nuqtaga ega.

Tekislikdagi to’g’ri chiziqlarning xosmas nuqtalarining geometrik o’rni tekislikning xosmas chizig’i deyiladi (2,a-rasmdagi m_∞ chiziq). Tekislikning istalgan to’g’ri chizig’i uning xosmas chizig’i bilan bir nuqtada kesishadi. Tekislikdagi parallel to’g’ri chiziqlar bitta xosmas nuqtada kesishadi (2,b-rasmdagi A_∞ nuqta). To’g’ri chiziq va tekisliklarning xosmas elementlari nazariy masalalarni talqin qilishda va perspektiv tasvirlarni yasashda qo’llaniladi.
2.4. Geometrik fazo. Geometriyada bir jinsli (bir xil) ob’ektlarning to’plami geometrik fazo deb yuritiladi.
Geometrik fazoni nuqtalar, chiziqlar yoki sirtlar to’plamlaridan tuzilgan deb qarash mumkin. Ma’lumki, chiziqlar va sirtlar nuqtalardan tashkil topadi. Nuqta esa birinchi va boshlang’ich geometrik tushunchadir. Demak, geometrik fazoni shakl deb qarash mumkin.
Real ob’ektlarni o’rganish xossalariga qarab geometrik fazolar ham turlicha bo’ladi. Masalan, real ob’ektni Yevklid aksiomalari sistemasi bo’yicha o’rganilsa, Yevklid fazosi hosil bo’ladi. Yevklid fazosi uch o’lchamli (P₃) fazodir. Tekislik Yevklid fazosida ikki o’lchamli (P₂) bo’ladi. Biz o’rganayotgan geometriya Yevklid geometriyasi deb yuritiladi. Yevklid fazosining kengaytirilgan modelini birinchi bo’lib ulug’ rus geometri N.I.Lobachevskiy (1792-1856) yaratdi. Bu model Lobachevskiy geometriyasi deb yuritiladi va bu geometriyaning o’ziga xos aksiomalar sistemasi mavjud.