Dərs növü: Mühazirə 15 Mövzu: Müəyyən inteqralın təqribi hesablanması.

_{Azərbaycan Dövlət Aqrar Universiteti.}

Kafedra: Fizika və riyaziyyat
Fakültə: Mühəndislik
Fənn: Riyazi analiz (30-60 saat)
Müəllim: dos. R.Ü.Orucova
Dərs növü: Mühazirə 15

Mövzu: Müəyyən inteqralın təqribi hesablanması. (Parabolalar və ya Simpson düsturu)
Plan:
1. Müəyyən inteqralın təqribi hesablanması.
2. Simpsonun kiçik düsturu.
3. Simpson düsturunun köməyi ilə cismin həcminin tapılması.

1. Müəyyən inteqralın təqribi hesablanması.
Məsələnin qoyuluşu. Nyuton-Leybnis düsturu müəyyən inteqralın hesablanmasında inteqralaltı funksiyanın hər hansı ibtidai funksiyası məlum olduqda tətbiq edilir. Deməli, müəyyən inteqralda inteqralaltı funksiyanın ibtidai funksiyası məlum olmazsa onu hesablamaq üçün başqa bir üsul tapmaq lazım gəlir.
Misal.
⊳ Verilən misalda inteqralın ibtidai funksiyasını tapmaq olmur. Ona görə də bəzi riyazi cevirmələr aparmaq lazım gəlir. əvəzləməsini aparsaq, onda olar.
Onda

Beləliklə


olar ►
Aydındır ki, göstərilən misal müstəsna hal kimi qarşımıza cıxmışdır, lakin ümumilikdə müəyyən inteqralın inteqralaltı funksiyası elementar ibtidai funksiyaya malik olmadıqda onu Nyuton –Leybnis düsturu ilə hesablamaq münkün olmur. Bu halda verilən inteqralı müxtəlif təqribi üsullarla hesablamaq zəruriyyəti meydana çıxır. Belə üsullar cox saydadır. Lakin biz bu üsullardan ikisini - trapeslər və simpson düsturlarını nəzərdən keçirək.

2. Simpsonun kiçik düsturu.
əyrisi və xətləri arasında kiçik əyilməyə malik olarsa, onda

inteqralı sadə bir düsturla təqribi ifadə olunur. Bu düsturun alınmasına baxaq. funksiyasının müsbət olduğunu qəbul edək və əyrixətli trapesin sahəsini tapaq. (şəkil 19.25)
Bunun üçün parçasını nöqtəsiylə yarıya bölək və nöqtəsindən xəttinə toxunan çəkək. Sonra isə parçasını və nöqtələri ilə 3 bərabər hissəyə ayıraq və həmin nöqtələrdən və düz xətlərini çəkək. Tutaq ki, bu düz xətlər çəkilən toxunanla və nöqtələrində kəsişirlər. -nı ilə, -ni isə ilə birləşdirsək, kimi üç ədəd düzbucaqlı trapes alarıq. Onda əyrixətli trapesin sahəsini təqribən alınan düzbucaqlı trapeslərin sahələri cəminə bərabər etsək, axtarılan düsturu alarıq:

Buradan:

alınar. Qeyd edək ki, ,
və nöqtələri xəttinin üzərində olmadığından və parçaları həmin xəttin ordinatları deyil, lakin trapesin orta xəti bu parçaların cəminin yarısına bərabər olduğundan:
və olar. Onda (19.56) düsturu

şəklində olar. (19.57) düsturuna Simpsonun kiçik düsturu deyilir. Bu düstur çoxhədlisinin dərəcəsi dördüncü dərəcədən kiçik olduqda bir mənalı olaraq inteqralının dəqiq qiymətini verir.
Doğrudan da çoxhədlisinin hər biq toplananı üçün bu düstur inteqralın dəqiq qiymətini verir. Məs: I toplanan üçün yoxlasaq:

və olduğundan





Bu isə yuxarıdakı riyazi təklifin doğru olduğunu göstərir.
Lakin qalan hallarda (19.57) düsturu inteqralın təqribi qiymətini verir.
Misal. . Onda olduğundan

olur.
(19.57) düsturuna görə isə alınar. Onda mütləq xəta
nisbi xəta isə
olur.