Dərs növü: Mühazirə 15 Mövzu: Müəyyən inteqralın təqribi hesablanması.

3. Simpson düsturunun köməyi ilə cismin həcminin tapılması.
Tutaq ki, oturacağı horizontal müstəvidə olan hündürlüyə malik hər hansı cism verilmişdir (şəkil 19.24).
Bu cismin oturacağından məsafəsində oturacağa paralel üfqi müstəvi ilə kəsiyinin sahəsi olsun. Onda (19.45) düsturuna görə bu cismin həcmi

olar. (19.57) düsturuna görə cismin həcmini təqribi hesablasaq:

yəni
(19.58)
Bu düsturdan təcrübədə tez-tez istifadə olunur və bir çox hallarda mütləq dəqiqliyə malik olur. Məs. konusun və kürənin həcmlərinin hesablanmasında (19.58) düsturu dəqiq qiymətini verir. Doğrudan da radiuslu kürə üçün və olduğundan (19.58) düsturuna görə

alınar ki, bu da məlum kürənin həcm düsturudur.
(19.58) düsturunu hündürlüyü otoracaq radiusu olan konus üçün tətbiq etsək və olduğundan

alınar ki, bu da məlum konusun həcm düsturudur.
Qeyd edək ki, (19.52) düsturu üçüncü dərəcəli çoxhədli üçün də doğru olur.
5) Ellepsin uzunluğunun təqribi hesablanması.
Tutaq ki,
(19.59)
ellipsinin və yarımoxlarına nəzərən uzunluğunu tapmaq tələb olunur.
Məlum olur ki, və -dən asılı olaraq funksiyası elementar funksiya deyil və ona görə də onun hesablanması təqribi düsturla tapıla bilər. (Qeyd edək ki, belə düsturlar çoxdur). Biz bu düsturlardan birini çıxaraq. Bunun üçün (19.59) tənliyini parametrik şəklində yazaq:

Ellips koordinat oxlarına nəzərən simmetrik olduğundan, onun I koordinat rübündəki uzunluğunun tapılması kifayətdir. parametri 0-dan -yə qədər dəyişdikdə nöqtəsi ellipsin I rübdəki qövsünü cızar. Onda,

olar. Bu inteqral isə elementar deyil və mənşəinə görə elliptik inteqral adlanır. İndi isə (19.57) Simpson düsturunu tətbiq edək və bura daxil olan və ədədlərini uyğun olaraq və ədədləri ilə əvəz edək. Onda inteqralaltı funksiya
olar. Ona görə də
və buradan da
alınar. Beləliklə nəticədə
(19.60)
alınar. (19.60) düsturunun doğruluğunu təsdiq etmək üçün aşağıdakı iki hala baxaq:
1) Tutaq ki, . Onda aydındır ki, ellips şəklində çevrə tənliyini alar. Bu halda (19.60) düsturuna görə kimi dəqiq qiymətini alar ki, bu da radiuslu cevrənin uzunluğudur.
2) İndi tutaq ki, . Onda nöqtəsi oxunun parçasından iki dəfə keçməklə ellipsin dəqiq uzunluğu olar. Lakin (19.60) düsturuna görə

olar. Onda qəbul etsək . Bu halda mütləq xəta , nisbi xəta isə olar.
6) Simpsonun böyük düsturu.Simpsonun kiçik düsturu inteqralaltı funksiya qrafiki kiçik əyriliyə malik olduqda dəqiqlik etibarı ilə daha yaxşı nəticə verir. Əks halda məsələn (19.59) şəkildəki kimi olarsa bu düstur ya yaramır və ya səhv nəticə olaraq alınır. Bu halda parçasını kimi iki hissəyə bölüb, həmin hissələrin hər birinə (19.57) düsturunu tətbiq etməklə lazımı nəticə əldə edilər. Göstərilən bu ideyadan istifadə etməklə inteq-ralını hesablamaq üçün Simpsonun “böyük” düsturunu çıxarmaq olar. Bunun üçün parçasını -cüt ədəd olmaqla nöqtələri ilə sayda bərabər hissələrə bölək.
Onda verilən inteqralı

cəmi şəklində göstərmək olar. İndi isə bu bərabərliyi sağındakı hər bir toplanana Simpsonun (19.57) kiçik düsturunu tətbiq edək. Nəzərə alaq ki, hər bir inteqralda inteqrallama aralığının uzunluğu ifadəsinə bərabərdir, yəni sayda parçalar olduğu halda inteqrallama aralıqları uzunluq etibarı ilə iki dəfə uzundur. qəbul etsək, onda

və ya


Burada müxtəsər olaraq



olduğunu fərz etsək, onda nəticə olaraq
(19.61)
Bu isə “Simpsonun böyük düsturu” adlanır.