Dərs vəsaiti baki -2018 azərbaycan döVLƏt neft və SƏnaye universiteti

3.2. Harmonik ədədlər, onların növləri və tətbiqləri


qanunauyğunluğu ilə dəyişən ədədlərinə harmonik ədədlər deyilir. Bir əyləncəli məsələyə baxaq[10]. Tutaq ki, bir adam sələm ilə borc verəndən ayın əvvəlində 300$ həcmində borc pul götürüb. Hər ayın sonunda 100$ qaytara bilir. Sələmçi növbəti aya keçən kimi müştərinin borcunu (cəmi) daha 300$ artırır və qalan bütün hesabları da (ödənilən və ödəniləcək məbləğləri) həmin nisbətdə artırır. Hesablaşma prosesi bu qaydada davam etdiyi müddətdə müştəri öz borcunu tam qaytara bilərmi? Əgər qaytara bilərsə, hansı zamanda borcunu tam qaytara bilər ?
Cədvəl 3.3
Harmonik ədədlər

n	Hn
1	1
2	1,5
3	=1,8(3)
4	=2,08(3)
.................	..............................................................
11	3,01

Bu məsələni ümumi borca nisbətdə aybaay ödənişlərin cəminin olmasına əsaslanaraq həll etmək olar.

deməli, olmalıdır.
Deməli, 11-ci ayda müştəri öz borcunu tam qaytarmış olur. Ümumiyyətlə, sələmçidən alınan məbləğ a, ayın sonunda qaytarılan məbləğ b olarsa, bərabərsizliyi ilə n-i tapmaq olar.
I tərtibli harmonik ədədlərə aid teorem: n sonsuz olaraq artdıqca ədədi sonsuzluğa yaxınlaşır.
İsbatı: Harmonik cəmi elə qruplaşdırmaq olar ki, hər qrupun elementlərinin cəmi ilə 1 arasında olsun:

Buradan görünür ki, hər bir qrupa daxil olan ədədlərin cəmi soldan sağdan vahidlə məhdudlaşıb. Fərz etsək ki,
hesablanarkən k sayda qrup toplanır, onda bunları tərəf-tərəfə toplasaq, aşağıdakı bərabərsizliyi alarıq:
k
Sonuncu bərabərsizlikdə k sonsuzluğa yaxınlaşaraq limitə keçsək, bərabərsizliyin sol tərəfi də sonsuzluğa yaxınlaşar, ona görə də riyazi analizin məlum teoreminə görə yazmaq olar:

Harmonik ədədlərin dağılmasını aşağıdakı münasibətdən də nəticə kimi almaq olar:

Beləliklə, ədədi üçün aşağıdakı bərabərsizliyi yaza bilərik:
Məlumdur ki, natural loqarifmin qiyməti n artıqca sonsuz olaraq artır. Yuxarıdakı bərabərsizliyin hər iki tərəfi sonsuzluğa yaxınlaşdığı üçün H_n sonsuzluğa yaxınlaşır.
Harmonik ədədlərlə Stirlinq ədədləri arasında əlaqə düsturu: .
H_n ədədini rekurrent olaraq aşağıdakı kimi hesablamaq oalr:

H _n=H_n-1+1/n (3.7)

H₁=1
Harmonik ədədlərin asimptotu funksiyasıdır. H_n təqribi hesablananda n=[x], yəni n ədədi x-in tam hissəsi kimi götürülür. ədədi Eyler-Maskeroni sabiti adlanır, irrasional ədəddir, 0,577215...



Şək. 3.1. Birinci tərtibli harmonik ədədlərin (pilləli) və onun asimptotu funksiyasının (hamar)qrafikləri.
Harmonik ədədlərə bir sıra fiziki, iqtisadi proseslərdə də təsadüf olunur.
Misal: Fərz edək ki, 4 fəhlə hər hansı detalı müxtəlif templərlə hazırlaya bilirlər. ilə i nömrəli fəhlənin zamanı ərzində hazırladığı detalın sayını qeyd edək. Cədvəldən göründüyü kimi ən yüksək templə 1-ci, ən zəif templə 4-cü fəhlə işləyir. Fəhlələr birlikdə işləsələr, 4 ədəd detalı hazırlamaq üçün nə qədər zaman sərf olunar?

	1	2	3	4
	1	1	1	1

Həlli:
Fəhlələr 1saata cəmi detal hazırlayar.
saata - 4 detal hazırlanar.
saat.
Bu qayda ilə tapılmış ədədinə x_i ədədlərinin harmonik ortası deyilir. Ümumiyyətlə, n sayda ədədlərinin harmonik ortasını hesablamaq üçün düstur aşağıdakı kimidir:
(3.8)
Harmonik ortanı statistika dilində şərh etmək olar. Tutaq ki, kəmiyyətləri müəyyən n_i çəkilərə malikdir ((3.8) düsturunda xüsusi hala baxılıb: n_i=1). Bütün müşahidələrin sayı n= Bu halda (3.9) düsturu ilə qurulan kəmiyyətinə yüklənmiş harmonik orta deyilir.
(3.9)
{\displaystyle \Gamma (z)=\lim \limits _{n\to \infty }{\frac {(n-1)!\,n^{z}}{z(z+1)(z+2)\cdots (z+n-1)}},\quad z\in \mathbb {C} \setminus \{0,-1,-2,\ldots \}.}Riyaziyyatda yüksək tərtibli harmonik ədədlərə də baxılır, məsələn, ikinci tərtibli harmonik ədəd aşağıdakı kimi təyin olunur:

Ümumiyyətlə r-ci tərtib harmonik ədədlərin quruluşu aşağıdakı kimidir.

Yüksək tərtibli harmonik ədədlər yığılandır. Bu ədədlərin yığıldığı funksiya Rimanın dzeta-funksiyasıdır:
(r)=
Ümumi halda r kompleks dəyişəndir, r = a+bi və a olduqda dzeta-funksiya yığılandır.