Dərs vəsaiti baki -2018 azərbaycan döVLƏt neft və SƏnaye universiteti

3.3. Fibonaççi modeli

Fibonaççi ədədlər ardıcıllığının yaranması 1202-ci ildə italyan riyaziyyatçısı Fibonaççinin irəli sürdüyü məşhur bir əyləncəli məsələnin həlli ilə bağlıdır[9,10]. Bu məsələ belə qoyulmuşdu:

"Doğulduqdan bir ay sonra dovşanlar cütləşir və daha bir ay sonra, yəni ikinci ayın tamamında bir cüt bala verməklə artırlar, dovşan ailəsi bir ilin sonunda neçə cüt canlıdan ibarət olacaq? Hesab olunur ki, bala dovşanlar da valideyinlərinə analoji artma qanunauyğunluğuna malikdir."
Bu məsələni iki üsulla həll etmək olar: 1) qrafik, 2) rekursiv funksiya üsuludur. Qrafik üsulla həllə baxaq:

Şək. 3.2. Fibonaççi məsələsinin ağacşəkilli modeli

Birinci cüt dovşan ikinci ayın sonunda bir cüt bala verir və o zaman dovşanların sayı iki cüt olur. Onlardan birinci cüt dovşanlar 3-cü ayın sonunda yenə bir cüt bala verir, deməli, üçüncü ayın sonunda 3 cüt dovşan olur. Sonrakı ay iki cüt dovşan doğulur ( hərəsi bir cüt ) və toplam 5 cüt dovşan olur. Bu proses şəkil 3.2-dəki sxemdə aşkar görünür. Şəkil 3.2-də k ilə kiçik, b ilə böyük cütlər təsvir olunub.

İndi isə Fibonaççi məsələnin riyazi həllinə baxaq.
(3.10)


Cədvəl 3.4
Fibonaççi ədədlərinin n-in müsbət qiymətlərində düzülüşü

n	0	1	2	3	4	5	...	12
F(n)	0	1	1	2	3	5	...	144

(3.10) sistemində qəbul etsək, Fibonaççi məsələsini həll edə bilərik: ,...,F(12)=144
Bu məsələ sadə olsa da, çoxlu tətbiq sahələri vardır. Sonralar bu məsələ halı əlavə olunmaqla ümumiləşdirilmişdir. (3.11) düsturu Fibonaççi ədədlərini əks istiqamətdə qurmaq üçün nəzərdə tutulub.
(3.11)
Cədvəl 3.5
Fibonaççi ədədlərinin n-in müsbət və mənfi qiymətlərində düzülüşü

n	-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 ... 12
F(n)	-8 5 -3 2 -1 1 0 1 1 2 3 5 ... 144

Fibonaççi ədədlərini həndəsi şərh etmək üçün müstəvidə tərəflərinin uzunluğu 1,1,2,3,5,8, və s. ədədlərinə bərabər olan kvadratları ardıcıl olaraq, saat əqrəbi istiqamətində (yaxud əks istiqamətdə) ortaq tərəfləri olmaqla qurub, bunların təpə nöqtələrini hamar əyrilərlə birləşdirsək, spiral fiquru alınar.

Şək.3.3. Fibonaççi spiralı
Fibonaççi spiralının təbiətdə çoxlu təzahürlərinə rast gəlmək olar: günəbaxan tacında toxumların düzülüşü, ilbizin çanağının forması, hətta qalaktikamızın forması və s.
Fibonaççi ədədlərinin bir sıra xüsusiyyətləri vardır. Onlardan bəzilərinə nəzər salaq:
(3.12)
(3.12) bərabərliyi n-in çox böyük qiymətlərində dəqiq bərabərliyə çevirilir.
düsturu ilə hesablanan ədədə “qızıl orta” ədədi deyilir və qiyməti təqribən 1.618-ə bərabərdir. Parçanın “qızıl bölgü” nisbətində bölünməsi dedikdə onun elə iki qeyri-bərabər hissəyə bölünməsi başa düşülür ki, bütöv parçanın böyük hissəyə nisbəti böyük hissənin kiçik hissəyə nisbətinə bərabər olsun.

C

B
A C B

Deyilənə görə, Yerin səthi ilə çəkilmiş şimal və cənub qütblərini birləşdirən düz xətt parçasının “qızıl bölgü” nöqtəsi Məkkə şəhərinə düşür. Burada C-cənub qütbünü, Ş-şimal qütbünü, M- Məkkə şəhərini göstərən nöqtələrdir.

Ş

.M



M
M



C

C
C
Şək. 3.4. “Qızıl bölgü”ədədinin təbiətdə təzahürü:M nöqtəsi Məkkə şəhərinə uyğun gəlir

“Qızıl bölgü” ədədinin hesablanmasının müxtəlif üsulları vardır, bəzilərinə baxaq.


x²-x-1=0 tənliyini həll etsək alırıq:
x_1,2=


Qurulan parametrlərindən istifadə edərək, F(n)-i aşağıdakı düsturla hesablaya bilərik (Bine düsturu):
(3.13)
Əgər n n ölçülü aşağıdakı determinantı hesablasaq F(n+1) alınar. Bu determinantda i= .

1	i	0	0	........	0
i	1	i	0	........	0
0	i	1	i	........	0
0	0	i	1	........	0
........	........	........	........	........	........
0	0	0	0	........	1

Müstəvidə hər hansı AB parçasını “qızıl bölgü” nisbətində iki hissəyə bölmək üçün alqoritm:

1. AB=2x qəbul etməklə B nöqtəsindən BC=x perpendikulyarını qaldırmalı;
2. A və C nöqtələrini birləşdirib ABC düzbucaqlı üçbucağını qurmalı, DC=x parçasını ayırmalı;
3. AB parçası üzərində AE = AD parçasını qurmalı, E nöqtəsi “qızıl bölgü” nöqtəsi olacaq.
• C
x
D •
x

A • • •
E B

Şək. 3.5. AB parçasının həndəsi qurma ilə “qızıl bölgü” nisbətində iki hissəyə bölünməsi
Alqoritmin doğruluğunun isbatı oxuculara tapşırılır.