Dərs vəsaiti baki -2018 azərbaycan döVLƏt neft və SƏnaye universiteti

1) kontinuum çoxluğun gücü haqqında problem (Kontor problemi),

2) riyaziyyatın aksiomlar sisteminin tam olmasını isbat etmək,

3) ədədinin transendent, ya da heç olmasa, irrasional olmasının aydınlaşdırılması,
4) sadə ədədlər haqqında Qoldbax problemi,
5) diofant tənliklərinin həlli üçün universal alqoritmin mövcudluğu problemi,
6) yeddinci dərəcəli tənliyin yalnız iki dəyişəndən asılı funksiya ilə həlinin mümkünlüyü problemi,
7) müəyyən formaların kvadratların cəmi şəklində ifadə olunması problemi,
8) Laqranjın requlyar variasiya məsələlərinin həllinin həmişə analitik olmasının aydınlaşdırılması problemi,
9) kristalloqrafik qruplar, konqruyent çoxüzlülər haqqında problemlər və s.
Qeyd edək ki, ötən illər ərzində bu problemlərin bir qismi həll olunub, məsələn,3-cü, 6-cı, 7-ci, 8-ci, 9-cu problemlər, 4-cü problem qismən həll olunub. Bu problemi ilk dəfə elmə daxil edən Qoldbax olmuşdur: ”6-dan kiçik olmayan ixtiyari natural ədədi üç sadə ədədin cəmi şəklində təsvir etmək olar”. Bu tezislə tanış olan Eyler daha güclü tezis irəli sürmüşdür: “4-dən kiçik olmayan hər bir cüt natural ədədi iki sadə ədədin cəmi şəklində, 7-dən kiçik olmayan hər bir tək natural ədədi üç sadə ədədin cəmi şəklində təsvir etmək olar”. Tezisin birinci hissəsinə Qoldbaxın binar problemi, yaxud Qoldbax-Eyler problemi, ikinci hissəsinə Qoldbaxın ternar problemi deyilir. Ternar hipotezi 2013-cü ildə Peru riyaziyyatçısı Harald Qelfqott isbat etmişdir, binar hipotez indiyədək açıq qalmışdır. Qeyd edək ki, sovet riyaziyyatçısı Vinoqradovun 1937- ci ildə ternar hipotezin “isbatını” dünyanın məşhur riyaziyyatçıları qəbul etmirdi, çünki onun isbatında “kifayət qədər böyük sayda tək natural ədədlər üçün” hipotezin doğruluğu göstərilirdi. 5-ci problemin araşdırılması “yox” cavabı ilə nəticələnib. Yuxarıda baxdığımız 5-ci problem riyaziyyat elminin tarixinə “Hilbertin 10-cu problemi” kimi daxil olmuşdur. İxtiyari P(x₁, x₂, …, x_n) = 0 cəbri tənliyi üçün , P - tam əmsallı çoxhədli olarsa, bu tənliyin tam köklərinin varlığını müəyyənləşdirən alqoritm qurmaq mümkündürmü? 1970-ci ildə sovet riyaziyyatçısı Y.V. Matiyaseviç bu problemin həll olunmazlığını isbat etdi. Vacib tezis budur: ”əgər hər hansı konkret tənliyin tam ədədli həllinin mövcudluğu bəlli olarsa, onda bunun alqoritmini də qurmaq mümkündür”. 1-ci problem hələ də həll olunmaz qalıb. Beləliklə, riyazi problem varsa, onun araşdırılması aşağıdakı kimi nəticələr verə bilir:
1) ya həll olunur,
2) ya elmin indiki səviyyəsi problemi həll etməyə imkan vermir və güman olunur ki, gələcəkdə bu problem həll oluna bilər,
3) ya da isbat olunur ki, bunun həlli prinsipcə mümkün deyil.
Ilk dəfə həll olunmaz problemin varlığını Avstriya riyaziyyatçısı Kurt Gödel (1906–1978) və ABŞ riyaziyyatçısı  Alonzo Çerç (1903-1995) isbat etmişlər.
David Hilbertin irəli sürdüyü məsələlərdən biri riyaziyyatın aksiomlar sisteminin tam olmasının araşdırılmasından ibarət idi. Başqa sözlə Hilbert “riyaziyyat mükəmməl elmdirmi?” sualını qoymuşdu.
Bu məsələni araşdırmağa çalışan Gödel riyazi məntiq sahəsində iki teorem isbat etmişdir. Bunları şərh edək. Nəzəriyyə o zaman ziddiyyətsiz qəbul edilir ki, elə bir F düsturu tapılmasın ki, bu nəzəriyyənin aksiomlarına əsaslənaraq həm F, həm də bunun inkarını isbat etmək mümkün olsun. Əks halda nəzəriyə ziddiyyətli hesab olunur.
İxtiyari hökmü isbat etməyə imkan verən formal aksiomlar sistemi tam adlanır.
Gödelin birinci teoremi: “ İxtiyari formal aksiomlar sistemində isbatı mümkün olmayan hökmlər (düsturlar) mövcuddur.”
Nəticə: “Əgər formal aksiomlar sistemi tamdırsa, deməli o ziddiyyətlidir.” Çünki bu sistemdə həm F düsturunu, həm də onun inkarını isbat etmək olar.
Gödelin ikinci teoremi: “İxtiyari formal aksiomlar sisteminin tamlığı və ya tam olmaması bu sistemin aksiomları əsasında isbat oluna bilməz. Bunun isbatı üçün əlavə aksiomların olması zəruridir.”
Gödel teoreminin fiziki şərhini belə vermək olar: ”Bütün real fiziki proseslər təsadüfi amillərdən asılıdır, ona görə də bunları dəqiq proqnozlaşdırmaq qeyri-mümkündür”. Bu teoremin fəlsəfi şərhini isə belə vermək olar: “İnsan düşüncəsi obyektiv gerçəkliyi tam dərk edə bilməz”.
Bir qədər sonra K.Gödelin teoremlərinə istinad edən A. Çerç elementar hesabın cümlələrinin doğruluğunun tanınması probleminin qeyri-mümkünlüyü isbat etmişdir.
N. Lobaçevski həndəsəsi Evklid həndəsəsinə nisbətən obyektiv gerçəkliyi daha dolğun əks etdirir, lakin onun özü də tam dolğun deyil. K. Gödel və A.Çerç alqoritm anlayışını və həll olunmazlıq probleminin analizini özlərinin yaratdığı nömrələmə nəzəriyyəsinin tətbiqi ilə daha da dərinləşdirmişlər.
İxtiyari riyazi təklifin doğruluğunun yoxlanılması problemi aşağıdakı kimi qoyulur. Fərz edək, müəyyən R şərti əsasında S hökmünü hasil etmək mümkündür. Burada R və S müəyyən əlifbanın sözlərindən ibarət konstruksiyalardır. R-dən S-in alınması deduktiv zəncir təşkil edən çevirmələr yolu ilə yerinə yetirilir. İxtiyari R və S üçün deduksiya zənciri qurmaq mümkündürmü? Bu problemə nəticə hasil etmənin tanınması problemi deyilir. 1936-cı ildə Çerç isbat etdi ki, bu, alqoritmik həlli mümkün olmayan problemdir. 1936- cı ildə A.Türinq London riyaziyyat cəmiyyətinin jurnalında “ Həll problemi üçün hesablanan ədədlər haqqında” bir məqalə nəşr etdirdi. Bu məqalədə qeyd olunurdu ki, ixtiyari intuitiv mənada alqoritm üçün ekvivalent olaraq bir Türinq maşını qurmaq olar.
Problemin həll olunmazlığını Türinq nəzəriyyəsinə görə aşağıdakı tezislə izah edirlər: ”Əgər problemin həlli üçün qurulan alqoritm gec-tez dayanırsa, onda bu həll olunan problemdir, əks halda həll olunmaz problemdir”.
Həll olunmazlıq haqqında A.Türinq teoremi:
“ Elə bir alqoritm (Türinq maşını) qurmaq mümkün deyildir ki, ixtiyari alqoritmin və onun ixtiyari ilkin verilənlərinin əsasında bu alqoritmin işinin dayanıb-dayanmamasını müəyyənləşdirə bilsin.”
Alqoritmik həll olunmazlıq problemini yaradan səbəblər aşağıdakılardır:
а) Ümumu həll üsulu mövcud deyil,
б) İnformasiyanın qeyri-müəyyənliyi mövcuddur,
в) Məntiqi həll olunmazlıq amili mövcuddur.
Zahirən rekursiv olaraq hesablana bilən aşağdakı funksiyaya baxaq:
,
A(i,j)= ,

i və j-nin müxtəlif qiymətlərində A(i,j)-ni hesablamağa çalışaq:
Göründüyü kimi, elementini qiymətləndirmək mümkün olmadı. Bu misal məntiqi həll olunmazlıq amilinə aid bir nümunədir. Alqoritmik həll olunmazlıq iki üsulla yerinə yetirilir: 1) birbaşa, məsələn, Türinq maşınının işinin dayanıb-dayanmamasını araşdırmaq yolu ilə, 2) dolayısı ilə. Sonuncu üsul həll olunmazlığı artıq sübut olunmuş məsələyə gətirilə bilən məsələnin həll olunmazlığı qənaətini verir.
Elə problemlər var ki, onların həlli baxılan məsələnin ölçüsündən asılı olaraq ya həll olunub, ya da açıq qalıb, bunlara aid aşağıdakıları qeyd etmək olar:
1) Ölən matris problemi. n ölçülü kvadrat matrislər çoxluğu verilib. Bu matrislərin müəyyən qayda ilə elə hasilini ( təkrar hasillər də mümkündür) qurmaq olarmı ki, sonda sıfırlardan ibarət matris alınsın? İsbat olunub ki, n≥3 olduqda problem həll olunmazdır, n=2 olduqda problemin həlli açıqdır, yəni problemin həllinin olması və ya olmaması isbat olunmamış qalır.
2) Vahid matris problemi. Yuxarıda baxılan problemin sonda vahid matris alınması şərti ilə analoqudur. İsbat olunub ki, tam ədədli matrislər üçün n≥4 olduqda problem həll olunmazdır, n=3 olduqda problemin həlli açıqdır, n=2 olduqda problemin həlli var.
Yuxarıda qeyd edilən həll olunmazlıq problemləri həllin nəzəri cəhətdən tapılmasının mümkünsüzlüyünə həsr olunmuşdu. Bundan başqa son zamanlar elmi ədəbiyyatda həllin tapılmasının praktiki mümkünsüzlüyü ilə əlaqədar problemlər də qeyd edilir. Əgər məsələnin həlli üçün qurulan proqramın işləməsi üçün tələb olunan zaman məsələnin ilkin verilənlərinin ölçüsündən xətti asılı olarsa, bu məsələ P sinfinə aid edilir və asanlıqla həll olunan kimi qiymətləndirilir. Tam seçmə üsulu ilə həll olunan məsələnin real həlli imkanı nisbətən çətindir, bu məsələ NP sinfinə aid edilir.