Differensial tenglamalar kafedrasi ro’ziqulov azizjonning “issiqlik o’tkazu vchanlik tenglamasini maple paketi yordamida yechish”

^x2
AQ = J c( x)Au( x, t) S (x)dx
^x1
ifodani hosil qilamiz. Trubkaning har bir nuqtasi ko’ndalang kesimi bir xil bo’lsin, ya’ni S(x) = S = с о ns t deb qaraymiz.
Trubka (x ₁ ,x₂) qismi uchun (t ₁,1₂) vaqt intervalida gaz massasi balansi tenglamasi quyidagi ko’rinishda bo’ladi:
SJ D(x₂,t)^du(^ ^t) - D(x,t)^du(x1,t) dt = Sj[c(x)[u(x,t₂) - u(x,^)]dx.
tj _ ^{dx dx} _ xj
Ushbu integrallarga ham o’rta qiymat haqidagi teoremani qo’llab, gaz yoki suyuqlik diffuziya uchun differensial shakldagi tenglamaga ega bo’lamiz:
d
D^O^u^Lc(x)^du(x^t). (1.1.10)

dx
dx ) dt
Ko’rinib turibdiki, (1.1.10) diffuziya tenglamasi ham xuddi sterjenda issiqlik tarqalish tenglamasi (1.1.9) ga o’xshash ko’rinishga ega. Ulardagi asosiy farq noma’lum funksiya shu fizik jarayonni xarakterlovchi turli kattaliklarni ifodalaydi.

a² = — f = — cp cp


Agar shu bo’lim boshida yo’qligi talab qilingan trubkada manbalar bo’lishi yoki uning devorlari ham diffuziya jarayoniga ishtirok etishi mumkinligi hisobga olinsa, diffuziyaning issiqlik tarqalish tenglamasining umumiyroq ko’rinishidagi (1.1.7) yoki (1.1.8) ga o’xshash differensial tenglamalarni hosil qilgan bo’lar edik.
Xuddi shu kabi issiqlikning fazoda tarqalish masalasi ham parabolik tipdagi tenglamalarga keltiriladi. Bu jarayon issiqlik tarqalayotgan muhitning (x,y,z) nuqtasining t vaqtdagi temmperaturasi u(x, y , z, t) orqali tavsiflanadi. Bu holda ham Fur’e qonunidan va issiqlik balansi tenglamasidan foydalanib issiqlikning fazoda tarqalish jarayonini to’rt o’zgaruvchili u(x, y, z, t) funksiyaga nisbatan ikkinchi tartibli xususiy hosilali

dy v dy
bunda k = k(x,y,z)- issiqlik o’tkazuvchanlik koeffitsiyenti [3]. Agar muhit bir jinsli bo’lsa c = const, p = const va k = const bo’lib, yuqoridagi tenglama

+ F (x, y, z, t).

du

IV. Chegaraviy masalalarning qo’yilishi
Yuqorida ta’kidlanganidek, issiqlik tarqalish va diffuziya tenglamalarini ifodalovchi matematik modellar ikkinchi tartibli xususiy hosilali tenglamalardan iborat bo’lib, bu tenglamalar cheksiz ko’p yechimga ega [1,2,4]. Bu tenglamalar qaralayotgan jarayonni bir qiymatli aniqlashi uchun unga shu charayonni tavsiflovchi qo’shimcha shartlar ilova qilinishi lozim.
Issiqlik tarqalish tenglamalarida t bo’yicha birinchi tartibli xususiy hosila ishtirok etayotganligi uchun boshlang'ich shart sifatida jarayonning boshida

ko’rinishga keladi. Bu yerda

с

d_
dx

, du k— v dx

d

d
dz

du k—
v ^dz J

+ ■

+ ■

k

cpu_t =

u = a²(u + u + u ) + f(x, y, z, t)
t vxx yy zz / J V “ у “ “ /

sterjen nuqtalarida o’rnatilgan temperaturani ifodalovchi shart, ya’ni u(x,t) funksiyaning tajriba boshlangan t₀ ondagi qiymati berilishidan iborat bo’ladi:

u( x, t₀) = p( x). (1.1.11)
Bunda p(x), 0 < x < £ - berilgan uzluksiz funkisya, £ - sterjen uzunligi. Odatda tajriba boshlangan t ₀ vaqtni sanoq boshi deb olinadi, ya’ni t ₀=0.
Faraz qilaylik, sterjen 0 x o’qi boylab gorizontal joylashgan bo’lib, uning bir uchi x = 0 nuqtada, ikkinchi uchi esa x = 1 nuqtada bo’lsin. Uning uchlaridagi temperatura rejimiga asoslanib chegaraviy shartlar turli ko’rinishlarda qo’yilishi mumkin. Xuddi to’lqin tenglamasiga qo’yilgani kabi issiqlik tarqalish va diffuziya tenglamalariga ham asosan uch tipdagi chegaraviy shartlar qo’yiladi:
'1) Sterjenning x = 0 uchida vaqt davomida u(0,t) = д(t) harorat, x = £
uchida esa u(£,t) = д(t) harorat belgilangan bo’lsin. Bunda д (t) va ju₂(t) lar
biror [0 ,T] vaqt oralig’ida aniqlangan berilgan funksiyalar, T - jarayon kuzatiladigan vaqt uzunligi. Sterjen uchlarida berilgan
u(0, t) = д (t)'
^{U(£, t)} = M2^{(t )}J
ko’rinishdagi chegaraviy shartga birinchi tipdagi chegaraviy shart deb yuritamiz.

2. 
   Sterjen uchlari kesim yuzidan oqib o’tuvchi issiqlik oqimi belgilangan bo’lsin.
   

Masalan uning x = 0 cheti kesimidan vaqt davomida o’tuvchi Q -,_( 0 ,t) belgilangan rejimga bo’singan bo’lsa
й(0, r)=-k
dx
tenglik bajariladi. Bundan sterjenning x = 0 uchida u_x(0,t) = v₁ (t) = - ^Qt(0,t) shart
k
bajarilishi lozimligiga kelamiz.
Xuddi shu kabi sterjen x = £ cheti kesimidan vaqt davomida o’tuvchi Q ₂( 1,t) belgilangan rejimga bo’singan bo’lsa
&(£, t) = -k
dx
tenglik bajariladi. Bundan sterjenning x = £ uchida u_x(£,t) = v₂(t) = - °^2(£t) shart
k
bajarilishi lozimligiga kelamiz. Shunday qilib sterjen uchlarida issiqlik oqimi o’zgarishi belgilangan rejimga bo’sinishi talab qilinganda, issiqlik tarqalish tenglamasiga qo’shimcha
^ux ^{(0, t)} = ^1^(t) '
^ux ^{(£, t)} = ^V2^{(t )}J
chegaraviy shartlarning bajarilishi lozim ekanligiga kelamiz. Bu ko’rinishdagi chegaraviy shartlarga 2-tipdagi chegaraviy shartlar deb yuritamiz.

2. 
   Faraz qilaylik sterjen temperaturasi vaqt davomida aniq va 6(t) qonuniyat boyicha o’zgaruvchi tashqi muhit bilan issiqlik almashinuvi belgilangan rejimga bo’sinsin. Bu holda sterjen x = 0 va x = 1 uchlari uchun qo’yiladigan qo’shimcha shartlar
   

u (0, t)=h {u(0, t) - 6(t )}|
^ux ^{(£ t)} = ^h2 ^{{u(£, t) -6(t)}}^
ko’rinishda ifodalanib, ularga odatda 3-tipdagi chegaraviy shartlar deb yuritiladi.
Bulardan tashqari sterjenning ikkala uchida ikki tipdagi chegaraviy shart
qo’yilishi ham mumkin. Bu tipdagi chegaraviy shartlarga aralash tipdagi
chegaraviy shartlar deb yuritamiz.

1. 
   Ta’rif. (7) issiqlik tarqalish masalasining (11) boshlang’ich shart va 1-
   

tipdagi (mos ravishda 2-tipli, 3-tipli yoki aralash tipli) chegaraviy sharni
qanoatlantiruvchi yechimini topish masalasiga 1-tur (mos ravishda 2-tur, 3-tur
yoki aralash) chegaraviy masala deyiladi.
Chegaraviy masalaning regulyar yechimi deganda issiqlik tenglamasining
boshlang’ich va belgilangan chegaraviy shartlarni qanoatlantiruvchi hamda ikki
marta uzluksiz differensiallanuvchi yechimiga aytiladi.
Ba’zan ta’riflangan chegaraviy masalalrdan tashqari uzunligi
chegaralanmagan yoki juda ham uzun sterjenda issiqlikning tarqalish masalasini
14
ham o’rganishga to’g’ri keladi. Bu holda sterjen bir uchi -oo likda va ikkinchi uchini esa + o deb qarab, (1.1.7) tenglamaning faqat (1.1.11) boshlang’ich shartlarni qanoatlantiruvchi yechimini topish masalasiga duch kelamiz. Bu masala odatda Koshi masalasi deyiladi.

2. 
   Ta’rif. (7) issiqlik tarqalish masalasining -да< x <+ro, t > 0 sohada aniqlangan va
   

u(x,0) = (p(x), - да < x < +да sartni qanoatlantiruvchi yechimini topish masalasiga issiqlik tarqalish tenglamasi uchun qo’yilgan Koshi masalasi deyiladi. Bunda (p(x), -да<x<+да berilgan funksiya.
Xuddi shu kabi bir uchi chegaralanmagan sterjen uchun boshlang’ich shart va bitta chegaraviy shartni qanoatlantiruvchi yechimini topish haqidagi chegaraviy masalalar ham uchraydi.

2.