8 - m i s o l. sistemaning umumiy yechimini toping.
Yechish. Avval xarakteristik tenglamani yechib olamiz:
xos songa
yechimlar mos keladi. Ularni t bo’yicha differentsiallab, sistemaga qo’yamiz:
Agar bu tengliklarning har birini ga qisqartirib, t ning oldidagi koeffitsientlarni va ozod hadlarni tenglasak:
sistemalarni hosil qilamiz. Bundan kelib chiqadi. Agar desak, bo’ladi, shuning uchun sistemaning umumiy yechimi quyidagicha bo’ladi:
Eslatma. O’zgarmas koeffitsientli chiziqli yuqori tartibli differentsial tenglamalar sistemasi ham aynan yuqoridagi tartibda ko’rib chiqilishi mumkin. Masalan, agar sistema
ko’rinishda bo’lsa, u holda uning xarakteristik tenglamasi
bo’lib, uning ildizlariga mos keluvchi umumiy yechim
bo’ladi.
4.Bir jinsli boʻlmagan chiziqli oʻzgarmas koeffitsiyentli differensial tenglamalar sistemasini oʻzgarmaslarni variatsiyalash usuli bilan yechish
Usulning gʻoyasi va amalga oshirilishini ikkita oʻzgaruvchili ikkita tenglama uchun koʻrib chiqamiz. Amaliy masalalarda juda koʻp uchraydigan bir jinsli boʻlmagan differensial tenglamalar sistemasi quyidagicha koʻrinishda boʻladi:
(1)
Birinchi navbatda koʻrib chiqilgan usullar asosida bir jinsli hol uchun umumiy yechimni topamiz
(2)
Bunda –ixtiyoriy oʻzgarmaslar. Bir jinsli boʻlmagan sistemani xususiy yechimini topish uchun (2) formulalardan foydalanamiz, faqatgina lar ning funksiyalari deb faraz qilamiz.
(3)
Agar (3) ni differensiallab, (1) ga olib borib qoʻysak, va (2) funksiyalar bir jinsli sistemaning yechimi ekanligini hisobga olsak, u holda nomaʼlum funksiyalarni topish uchun quyidagicha sistemaga ega boʻlamiz:
(4)
Kramer usuliga koʻra (4) sistemadan quyidagilarni olamiz:
Demak sistemaning yechimi:
(5)
boʻladi. Ushbu tengliklarni integrallab larni topib olamiz. Ularni (3) formulalarga qoʻyib xususiy yechimlarni topamiz. Ushbu jarayon nazariy jihatdan yetarlicha shaffof boʻlsada, amaliy tadbiq qilinganda juda koʻp mehnatni va xushyorlikni talab qiladi. Bunga misollar ishlab ishonch hosil qilish mumkin.
Dostları ilə paylaş: |
