Differentsial tenglamalarning normal sistemasi. No’malumlarni ketma-ket yo’qatish usuli. Xarakteristik tenglamalar (Eyler) usuli

Misol 2.

Yechish.

1. 
   Birinchi navbatda bir jinsli differensial tenglamalar sistemasini yechamiz:
   

2. 
   Birinchi tenglamadan t boʻyicha hosila olamiz va - larning oʻrniga differensial tenglamalar sistemasidagi ifodalarini qoʻyamiz :
   

u holda

3. 
   
   
4. 
   -uchun topilgan yechimdan hosila olamiz va y(t) ni ifodasini topamiz:
   

Natijada bir jinsli differensial tenglamalar sistemasining umumiy yechimi quyidagicha koʻrinishni oladi:

5. 
   Bir jinsli boʻlmagan differensial tenglamalar sistemasining umumiy yechimini oʻzgarmaslarni variatsiyalash usuli yordamida topamiz, buning uchun -larni t ga bogʻliq funksiyalar sifatida qarab:
   

Ushbu yechimlarni berilgan differensial tenglamalar sistemasiga qoʻyamiz:

6) larni topish uchun (5) Kramer formulalaridan foydalanamiz, bunda



;
- larni toppish uchun -larni integrallaymiz
;
8)
9) Shunday qilib differensial tenglamalar sistemasining umumiy yechimi quyidagicha:

Mashq qilish uchun quyidagicha sistemani yeching

5.Differensial tenglamalar avtonom sistemalari. Avtonom tenglamalar sistemasi yechimining lyapunov boʻyicha turgʻunligi.
Taʼrif 1. Agar birinchi tartibli differensial tenglamalar sistemasida erkli oʻzgaruvchi t yaqqol koʻrinishda qatnashmasa, bunday tenglamalar sistemasiga avtonom sistemalar deyiladi.
Umumiy holda hosilalarga nisbatan yechilgan sistemaning normal koʻrinishi quyidagicha boʻladi:
(1)
Avtonom sistemani vector koʻrinishida ham ifodalash mumkin:

hosilalar faqatgina larga bogʻliq boʻlib, t erkli oʻzgaruvchiga bogʻliq boʻlmagani uchun, yechim oʻzgarishini oʻzi boshqaradi, shuning uchun ham sistemaga avtonom sistema deyiladi. (1) koʻrinishdagi avtonom sistemalarni yechishda eng muhim jihat shundaki, bogʻliqlik qonuni vaqt oʻtishi bilan oʻzgarmaydi, chunki oʻng tomon t ga bogʻliq emas. Agar qoʻshimcha ravishda (1) sistemaga boshlangʻich shartlar qoʻyilgan boʻlsa:
(2),
u holda Koshi masalasiga ega boʻlamiz (1)–(2).
Avtonom sistemalarga shu bilan birga dinamik sistemalar ham deb yuritiladi. Har qanday normal koʻrinishdagi differensial tenglamalar sistemasini nomaʻlum funksiyalar sonini bittaga oshirish hisobiga avtonom sistema koʻrinishga keltirish mumkin. funksiyani kiritsak
kiritsak, u holda sistema avtonom sistemaga aylanadi.
(3)
Faraz qilaylik koʻrilayotgan avtonom sistemalar uchun Koshi masalasi yechimining mavjudligi va yagonaligi haqidagi teorema shartlari bajarilgan boʻlsin.
Aytaylik , [a, b] oraliqda aniqlangan avtonom sistemaning yechimi boʻlsin, nuqtalar toʻplami da aniqlangan egri chiziq boʻladi. Ushbu egri chiziqni fazali trayektoriya yoki avtonom sistemaning trayektoriyasi deyiladi, fazali trayektoriyalar joylashgan fazoga esa avtonom sistemaning fazali fazosi deyiladi.
Agar F(a)=0 boʻlsa, u holda a nuqta muvozanat holati yoki avtonom sistemaning muvozanat (sukut) nuqtasi deyiladi.
Fazali trayektoriyaning parametrik tenglamasi tenglik boʻladi. Sistemaning integral egri chizigʻi (yechimi) n+1 oʻlchovli fazoda tasvirlanadi va quyidagicha tenglamalar bilan aniqlanadi:

Tushunarliki, mos fazali trayektoriya – integral egri chiziqning fazodagi proyeksiyasi hisoblanadi.
Masalan quyidagi rasmlarda avtonom sistemaning integral egri chizigʻi va unga mos fazali trayektoriya tasvirlari keltirilgan.

1. 
   Sistema yechimini geometrik tahlil qilish uchun fazali tekislik qarab
   

chiqiladi. Jarayon murakkab boʻlgani uchun n=2 oʻlchovli hol bilan chegaralanamiz. Shu bilan birga (2) boshlangʻich shartlar ushbu tekislikda nuqtani beradi. (1)-(2) Koshi masalasi yechimi:
koʻrinishda beriladi. Agar t ni vaqt deb faraz qilsak, u holda sistema yechimi nuqtadan oʻtuvchi nuqtaning harakat trayektoriyasini beradi.
Avtonom sistemlar yechimlari tahlilini oʻzgarmas koeffitsiyentli birinchi tartibli chiziqli differensial tenglamalar sistemasi uchun koʻrib chiqamiz. Aytaylik quyidagicha tenglamalar sistemasi:
(4)
boshlangʻich shartlar: (5)
bilan berilgan boʻlsin.
Bizga maʼlum usullar yordamida (4)-(5) Koshi masalasining xususiy yechimini topamiz. tekislik (4) sistemaning faza tekisligi, uning yechimlari esa, quyidagi
(6)