Differentsial tenglamalarning normal sistemasi. No’malumlarni ketma-ket yo’qatish usuli. Xarakteristik tenglamalar (Eyler) usuli

Misol 1. sistemaning boshlangʻich shartlarni qanoatlantiruvchi yechimini turgʻunlikka tekshiring.
Yechish. Sistemaning xarakteristik tenglamasi

ildizlarga ega. Sistemaning unga mos keluvchi yechimlari

Bulardan boshlangʻich shartlarni qanoatlantiruvchi xususiy yechimlari (9)
Bundan koʻrinadiki, da ya’ni yechim turgʻun. Endi faza tekisligiga oʻtaylik. (9) dan t parametrni yoʻqotsak:

parabolalar oilasini hosil qilamiz (1-rasmga qarang).
(6) tenglama bu misol uchun quyidagicha .
Bu tenglamaning O(0,0) maxsus nuqtasi turgʻun tugun nuqtadir.
2-hol. Barcha xos sonlar har xil: , haqiqiy va
, bo’lsin. Bu holda ham yechim (8) koʻrinishda boʻladi. da , , boʻlgani uchun boshlangʻich shartlar qanday boʻlishidan qat’iy nazar, da , boʻladi, ya’ni yechim turgʻun emas.
boʻlganda faza tekisligida sistemaning maxsus nuqtasi turgʻun boʻlmagan tugun boʻladi: da nuqta traektoriya boʻylab sukut nuqtasidan uzoqlasha boradi.
Misol 2. sistemaning yechimini turgʻunlikka tekshiring.
Yechish. Bu sistema uchun xarakteristik tenglama

ildizlarga ega. Unga mos keluvchi yechimlar: da ya’ni yechim turg’un emas.Agar t ni yo’qotsak:

parabolalar oilasi hosil bo’ladi. O(0;0) maxsus nuqta turg’un bo’lmagan tugun nuqtadir (2-rasmga qarang).


3-hol. Xarakteristik tenglamaning ildizlari haqiqiy, lekin har xil ishorali. Umumiylikni buzmagan holda, faraz qilaylik,
, , , bo’lsin. U holda, agar, unga mos keluvchi umumiy yechimdagi koeffitsientlarning kamida biri noldan farqli boʻlsa, da boʻladi, ya’ni yechim turgʻun emas. Bunda sukut nuqtani turgʻun boʻlmagan egar, deb ataymiz.