Differentsial tenglamalarning normal sistemasi. No’malumlarni ketma-ket yo’qatish usuli. Xarakteristik tenglamalar (Eyler) usuli

12-ma’ruza. Differensial tenglamalar sistemasi. Yechish usullari


Reja

1. 
   Differentsial tenglamalarning normal sistemasi.
   
2. 
   No’malumlarni ketma-ket yo’qatish usuli.
   
3. 
   Xarakteristik tenglamalar (Eyler) usuli.
   
4. 
   Bir jinsli boʻlmagan chiziqli oʻzgarmas koeffitsiyentli differensial
   

tenglamalar sistemasini oʻzgarmaslarni variatsiyalash usuli bilan yechish.
5.Differensial tenglamalar avtonom sistemalari. Avtonom tenglamalar sistemasi yechimining lyapunov boʻyicha turgʻunligi.
6.Оʻzgarmas koeffitsiyentli chiziqli differensial tenglamalar sistemasi yechimining lyapunov boʻyicha turgʻunligi.

1. 
   Differentsial tenglamalarning normal sistemasi.
   

Quyidagi
(1)
sistema normal sistema, deb ataladi.
Kuzatilayotgan yoki tadqiqot qilinayotgan ayrim jarayonlar modeli (1) ko’rinishdagi tenglamalar sistemasidan iborat bo’ladi.
1 - m i s o l. A modda P va Q moddalarga parchalansin. Ularning har birini hosil bo’lish tezligi A moddaning parchalanmagan qismiga proportsional bo’lsin. Agar P va Q moddalarning t momentdagi miqdorlarini mos ravishda va desak, u holda A moddaning t momentdagi miqdori bo’ladi. Masala shartiga ko’ra bu miqdor va miqdorlarning hosilalariga proportsional, ya’ni

2 - m i s o l. Biologiyadan ma’lumki, ayrim bakteriyalar ko’pa- yishdan tashqari o’zining miqdorini kamaytirib turuvchi zahar ham ishlab chiqaradi. Faraz qilaylik, bakteriyaning miqdori N o’zining ko’payish tezligi ga va zahar ishlab chiqarish tezligi ga proportsional bo’lsin, bu yerda zahar miqdori. U holda quyidagi sistemaga ega bo’lamiz:

(1) sistemani integrallash deganda, (1) ni va quyidagi berilgan
, (2)
boshlang’ich shartlarni qanoatlantiruvchi noma’lum funktsiyalarni topishni tushunamiz.
Bunday sistemalarni integrallash uning ko’rinishiga qarab, har xil usullar bilan bajarilishi mumkin. Shulardan bir nechtasini ko’rib chiqamiz.

2.