Ehtimal nəzəriyyəsi bütün təbiət elmlərinin təməl daşı, statistika isə

Çebışev bərabərsizliyi

Tutaq ki, X təsadüfi kəmiyyətinin riyazi gözləməsi m_x = M^[X^] və dispersiyası D_x = D^[X^] ilə işarə edilmişdir.

Teorem. Sonlu dispersiyası olan X təsadüfi kəmiyyəti ixtiyari ε > 0
ədədi üçün

bərabərsizliyi ödəyir.

P^(|X − m_x
^| ≥ ε⁾ ≤ D[X]
_ε2

(1)

Doğrudan da, tutaq ki, X kəsilməz təsadüfi kəmiyyətdir və onun sıxlıq funksiyası P(x)-dır. Onda

2
münasibətinə əsasən
P^(|X − m_x^| ≥ ε⁾ =
_ Pxdx
x m_x 

D^[X^] = M^[(X − m
^)2] =

 ²  
^{   } ε²   =

_{x } x  m_x

P x dx 
_ x
x  m_x 
m_x P x dx
_ P x dx
x m_x 

və ya

ε²P^(|X − m_x^| ≥ ε⁾

D^[X^] ≥ ε²P^(|X − m_x^| ≥ ε⁾

olar. Buradan (1) bərabərsizliyi alınır.
Diskret təsadüfi kəmiyyətlər üçün (1) bərabərsizliyini isbatı eyni qayda ilə aparılır.
(1) bərabərsizliyi Çebışev bərabərsizliyi adlanır. Onu
P^(|X − m_x^| ≥ ε⁾ + P^(|X − m_x^| < 𝜀⁾ = 1
bərabərliyinə əsasən,

_𝗌2
kimi də yazmaq olar.
P^(|X − m_x^| < 𝜀⁾ ≥ 1 − ^D[X]
(2)

Böyük ədədlər qanunu

Tutaq ki, sonlu riyazi gözləməsi olan X₁, X₂, … , X_n,...(1) təsadüfi kəmiyyətlər ardıcıllığı verilmişdir. (1) təsadüfi kəmiyyətlər ardıcıllığı istənilən ε > 0 ədədi üçün

və ya

lim
n→∞

lim
n→∞
n
1 1

k
P (| ∑ X −
n n
k=1
n
1 1

k
P (| ∑ X −
n n
k=1
n
∑ M^[X_k
k=1
n
∑ M^[X_k
k=1
^]| < 𝜀) = 1 (2)


^]| < 𝜀) = 0 (3)

münasibətini ödədikdə, yəni (1) kəmiyyətlərinin
n

X^̅̅̅ = 1 ∑ X (4)
n _n k
k=1
ədədi ortası onların riyazi gözləmələrinin

n

k
1 ∑ M^[X
n
k=1


^] (5)

ortasına ehtimala görə yığıldıqda, deyirlər ki, (1) təsadüfi kəmiyyətlər ardıcıllığı üçün böyük ədədlər qanunu ödənilir.
Teorem (Markov). Əgər (1) təsadüfi kəmiyyətlər ardıcıllığı
n

lim 1 D [∑ X ] = 0 ⁽6⁾

n→∞ _n²
k
k=1

şərtini ödəyirsə, onda həmin ardıcıllıq üçün böyük ədədlər qanunu, yəni (2) münasibəti ödənilir.
Markov teoremindən aşağıdakı nəticə alınır:

Nəticə1. Cüt-cüt asılı olmayan X₁, X₂, … , X_n,... təsadüfi kəmiyyətləri

lim
n

1 ∑ D^[X





^] = 0 ⁽7⁾

n→∞ _n²
k
k=1

(7) şərtini ödədikdə, (1) təsadüfi kəmiyyətlər ardıcıllığı üçün böyük ədədlər qanunu ödənilir.
Nəticə 2. Cüt-cüt asılı olmayan X₁, X₂, … , X_n,... təsadüfi kəmiyyətlərinin dispersiyaları D^[X_k^] ≤ C, k = 1,2, … (8) şərtini ödədikdə, (1) təsadüfi kəmiyyətlər ardıcıllığı üçün böyük ədədlər qanunu ödənilir.
Nəticə 3. Cüt-cüt asılı olmayan eyni cür paylanmış və sonlu dispersiyaları olan 𝑋₁, 𝑋₂, … , 𝑋_𝑛,... təsadüfi kəmiyyətlər ardıcıllığı istənilən
𝜀 > 0 ədədi üçün

𝑙𝑖𝑚 𝑃 (|1
^𝑛→∞ 𝑛
𝑛
∑ 𝑋_𝑘 − 𝑎| < 𝜀) = 1 (9)
𝑘=1

münasibətini ödəyir, yəni həmin kəmiyyətlər ardıcıllığı üçün böyük ədədlər qanunu ödənilir.
Nəticə 4. Tutaq ki, asılı olmayan n sınaq nəticəsində A hadisəsinin baş verməsinin sayı 𝜇_𝑛 və hər bir sınaqda A hadisəsinin baş verməsi ehtimalı p⁽0 < 𝑝 < 1⁾ ədədidir. Onda ixtiyari 𝜀 > 0 ədədi üçün
𝑙𝑖𝑚 𝑃 (|𝜇^𝑛 − 𝑝| < 𝜀) = 1 (10)

^𝑛→∞ 𝑛
bərabərliyi doğrudur. Nəticə 5. Tutaq ki, asılı olmayan n sınaq aparılır və k-cı sınaqda A hadisəsinin başverməsi ehtimalı 𝑃_𝑘 −dır. Onda həmin hadisənin başvermə tezliyi 𝑛 → ∞ şərtində ehtimala görə 𝑃_𝑘 ədədlərinin ədədi ortasına yığılır, yəni istənilən 𝜀 > 0 ədədi üçün

𝑙𝑖𝑚 𝑃 (|𝜇^𝑛

𝑛
1
− ∑ 𝑃_𝑘| < 𝜀) = 1

(11)

𝑛→∞

bərabərliyi doğrudur.

𝑛 𝑛

𝑘=1

Xarakteristik funksiyalar və onların xassələri

Xarakteristik funksiyalar üsulunun əsasını kompleks qiymətli təsadüfi kəmiyyət, onun riyazi gözləməsi və xarakteristik funksiya anlayışları təşkil edir.

ξ və η həqiqi təsadüfi kəmiyyətlər olduqda
X= ξ + iη, i² = −1
ifadəsi kompleks qiymətli təsadüfi kəmiyyət və
M^[X^] = M^[ξ^] + i²M^[η^]
onun riyazi gözləməsi adlanır.
ξ həqiqi təsadüfi kəmiyyət olduqda
φ⁽t⁾ = φ_ξ⁽t⁾ = M[e^itξ] , − ∞ < t < ∞ (1)
funksiyasına onun xarakteristik funksiyası deyilir.
Xarakteristik funksiyaların bir sıra xassələri vardır:
Teorem 1. Istənilən ξ təsadüfi kəmiyyətinin φ⁽t⁾ = φ_ξ⁽t⁾ xarakteristik funksiyası bütün ədəd oxunda təyin olunmuşdur və aşağıdakı xassələri vardır:

1. 
   φ⁽0⁾ = 1 ödənilir.
   
2. 
   ^|φ⁽t^)| ≤ 1 (−∞ < t < ∞) bərabərsizliyi ödənilir.
   
3. 
   a və b sabit ədəd olduqda η = aξ + b təsadüfi kəmiyyətinin xarakteristik funksiyası
   

olar.
φ_η⁽t⁾ = e^itbφ_ξ⁽at⁾

Teorem 2. Asılı olmayan ξ və η təsadüfi kəmiyyətləri cəminin xarakteristik funksiyası, onların xarakteristik funksiyaları hasilinə bərabərdir, yəni

münasibəti doğrudur.

φ_ξ+η⁽t⁾ = φ_ξ⁽t⁾φ_η⁽t⁾ (2)

Nəticə 1. Asılı olmayan ξ₁, ξ₂, … , ξ_n təsadüfi kəmiyyətlərinin S_n = ξ₁ + ξ₂ + ⋯ + ξ_n cəminin xarakteristik funksiyası
φ_Sn⁽t⁾ = φ_ξ1 ⁽t⁾ ∙ φ_ξ2 ⁽t⁾ ∙ … ∙ φ_ξn⁽t⁾ (3)
münasibətini ödəyir.
Nəticə 2. Asılı olmayan və eyni φ xarakteristik funksiyası olan
ξ₁, ξ₂, … , ξ_n təsadüfi kəmiyyətlərinin S_n cəminin xarakteristik funksiyası
φ_Sn⁽t⁾ = ^[φ(t)^]n
bərabərliyi ilə hesablanır.
Teorem 3. Xarakteristik funksiyalar çoxluğu ilə paylanma funksiyaları çoxluğu arasında qarşılıqlı birqiymətli uyğunluq vardır.
Nəticə 3. Tutaq ki, F₁və F₂ paylanma funksiyaları, φ₁və φ₂ isə onlara uyğun olan xarakteristik funksiyadır. Onda φ₁(t) ≡ φ₂(t) eyniliyi F₁⁽x⁾ = F₂ (x) bərabərliyinə ekvivalentdir.

Mərkəzi limit teoremləri

Ehtimal nəzəriyyəsinin mərkəzi limit teoremləri dedikdə, təsadüfi kəmiyyətlər ardıcıllığının müəyyən şərtlər daxilində normal təsadüfi kəmiyyətə yığılması haqqında olan teoremlər nəzərdə tutulur. Muavr-Laplasın inteqral teoremi ilk dəfə isbat edilmiş mərkəzi limit teoremidir. Tutaq ki, asılı olmayan n ardıcıl sınaq aparılır və hər sınaqda A hadisəsinin baş verməsi

ehtimalı eyni sabit p ədədidir. Əgər k-cı sınaqda A hadisəsinin baş verməsi sayı 𝑋_𝑘 ilə işarə edilsə, onda aparılan bütün n sınaq nəticəsində A hadisəsinin baş verməsinin 𝛾_𝑛 sayı 𝛾_𝑛 = 𝑋₁ + 𝑋₂ + ⋯ + 𝑋_𝑛 kimi göstərilir. Təsadüfi 𝛾_𝑛 kəmiyyətinin riyazi gözləməsi və dispersiyası hesablanmışdır: 𝑀^[𝛾_𝑛^] = 𝑛𝑝,
𝐷^[𝛾_𝑛^] = 𝑛𝑝𝑞. Bu kəmiyyətlərdən istifadə edərək, Muavr-Laplasın inteqral
teoremini aşağıdakı kimi yazmaq olar:

𝛾_𝑛 − 𝑀^[𝛾_𝑛^]
𝑥₂
1
_−𝑡2

lim
𝑛→∞
(𝑥₁ ≤
√𝐷^[𝛾_𝑛^]
≤ 𝑥₂) = ∫ 𝑒
√^2𝜋
𝑥
² 𝑑𝑡 (1)

Burada

𝛾_∗ = 𝛾_𝑛 − 𝑀^[𝛾_𝑛^] =

𝑛

∑
𝑘=1
1

𝑘=1
𝑋_𝑘 − 𝑀^[∑𝑛
𝑋_𝑘^]
(2)

[

]
𝑛

𝑘=1
√𝐷 𝛾_𝑛
√𝐷[∑^𝑛
𝑋_𝑘^]

ifadəsinə 𝑋₁, 𝑋₂, … , 𝑋_𝑛 təsadüfi kəmiyyətlərinin n-tərtibli normallaşmış cəmi deyilir. Bu normallaşmış cəm vasitəsilə (1) bərabərliyi

𝑥₂

𝑛→∞ ^𝑛
lim ⁽𝑥₁ ≤ 𝛾^∗
≤ 𝑥 ⁾ = 1 ∫ 𝑒

₂
√^2𝜋
_𝑡2

−
2
𝑑𝑡 (3)

𝑥₁
kimi yazılır. Verilmiş ixtiyari 𝜉_𝑘⁽𝑘 = 1,2, … ⁾ təsadüfi kəmiyyətlərinin də normallaşmış cəmlərinə baxmaq olar. Tutaq ki, təsadüfi kəmiyyətlərinin sonlu riyazi gözləməsi və dispersiyası vardır. Onda
𝑛
𝑆_𝑛 = ∑ 𝜉_𝑘

𝑘=1
𝑘=1

cəmləri vasitəsi ilə düzəlmiş


𝑆_∗ = 𝑆_𝑛 − 𝑀^[𝑆_𝑛^] =



𝑛

∑
𝑘=1

𝜉_𝑘 − 𝑀^[∑𝑛

𝜉_𝑘^]

(4)

[

]
𝑛
√𝐷 𝑆_𝑛
√𝐷[∑^𝑛
𝜉_𝑘^]

𝑘=1
ifadəsinə həmin təsadüfi kəmiyyətlərin n-tərtibli normallaşmış cəmi deyilir. Verilmiş 𝜉_𝑘 təsadüfi kəmiyyətlərinin (4) normallaşmış cəmi istənilən
𝑥₁ 𝑣ə 𝑥₂ (𝑥₁ ≤ 𝑥₂) ədədləri üçün

𝑥_2
∗ 1


_−𝑡2

1 𝑛
lim ⁽𝑥 ≤ 𝑆
𝑛→∞
≤ 𝑥₂⁾ = ∫ 𝑒
√^2𝜋
2 𝑑𝑡 (5)

𝑥₁
bərabərliyini ödədikdə, deyirlər ki, həmin təsadüfi kəmiyyətlər üçün mərkəzi limit teoremi ödənilir.
Çebışev teoremi. Tutaq ki, 𝜉₁, 𝜉₂, … asılı olmayan, eyni paylanma funksiyasına malik və sonlu dispersiyası olan təsadüfi kəmiyyətdir. Onda həmin kəmiyyətlər üçün mərkəzi limit teoremi ödənilir, yəni a=M^[𝜉_𝑘^] və 𝜎² =

𝑆_𝑛−𝑛𝑎
1 𝑥_2
−𝑡2

𝑘 1
M^[𝜉 ^] olduqda lim 𝑃 (𝑥 ≤
𝑛→∞
münasibəti doğrudur.
^𝜎√^{𝑛 ≤ 𝑥2) =} √^{2𝜋 ∫𝑥}1 ^𝑒
2 𝑑𝑡 (6)

Lyapunov teoremi. Tutaq ki, 𝜉₁, 𝜉₂, … asılı olmayan təsadüfi kəmiyyətdir və elə 𝛿 > 0 ədədi vardır ki,
𝑀[^|𝜉_𝑘 − 𝑀^[𝜉_𝑘^]|2+𝛿] < ∞, 𝑘 = 1,2, … ⁽7⁾ münasibəti ödənilir. Bu halda,
𝑛

𝐽 ⁽𝛿⁾ = 1 ∑ 𝑀[^|𝜉 − 𝑀^[𝜉 ^]|2+𝛿] → 0 ⁽𝑛 → ∞⁾ (8)

^𝑛 2+𝛿
√𝐷^[𝑆_𝑛^]
𝑘 𝑘
𝑘=1

şərti ödənildikdə, həmin 𝜉_𝑘⁽𝑘 = 1,2, … ⁾ təsadüfi kəmiyyətləri üçün mərkəzi limit teoremi doğrudur.