Ehtimollarni qo’shish va ko’paytirish teorEmalari

2. Ehtimollarni ko’paytirish teorimalari


1-ta’rif. Agar hodisaning ro’y berishi hodisaning ro’y berishi yoki ro’y bermasligiga bog’liq bo’lmasa, u holda va hodisalarga bog’liqmas hodisalar deyiladi.
Masalan, tanga ikki marta tashlanganda tangani ikkinchi tashlashda gerbli tomoni tushishi hodisasi tangani birinchi tashlashda gerbli tomoni tushishi hodisasiga bog’liq emas.
2-ta’rif. Agar hodisaning ro’y berishi hodisaning ro’y berishi yoki ro’y bermasligiga bog’liq bo’lsa, u holda va hodisalarga bog’liq hodisalar deyiladi.
Masalan, oq va qora sharlar solingan idishdan tavakkaliga ketma-ket ikkita shar olinsin va birinchi shar idishga qaytarilmasin. Bunda idishdan olingan ikkinchi sharning oq bo’lishi hodisasi idishdan olingan birinchi sharning oq bo’lishi hodisasiga bog’liq bo’ladi.
3-ta’rif. hodisaning hodisa ro’y berdi degan shartda hisoblangan ehtimoliga hodisaning hodisa ro’y berishi shartidagi shartli ehtimoli deyiladi va yoki bilan belgilanadi.
Agar yoki bo’lsa, u holda va hodisalar bog’liq hodisalar bo’ladi.
Agar va bo’lsa, u holda va hodisalar bog’liqmas hodisalar bo’ladi.
3-teorema. va hodisalar ko’paytmasining ehtimoli hodisalardan birining ehtimoli bilan ikkinchisining birinchi hodisa ro’y berishi shartidagi shartli ehtimoli ko’paytmasiga teng, ya’ni
. (4)
I sboti. ta elementar natijalardan tasi hodisaga, tasi hodisaga moyil bo’lsin. Bunda va hodisalar birgalikda bo’lgan hodisalar, ya’ni ta elementar natijalardan ham hodisaga ham hodisaga moyillari mavjud (2-shakl).
U holda

Bundan

3-misol. 2 ta oq va 5 ta qora shar solingan qutidan tavakkaligiga ketma-ket ikkita shar olinadi va olingan birinchi shar qutiga qaytarilmaydi. Qutidan olingan ikkala sharning oq bo’lishi ehtimolini toping.
Y e c h i s h. Quyidagi hodisalarni qaraymiz: olingan birinchi shar oq,
olingan ikkinchi shar oq, olingan har ikkala shar oq.
U holda
Bundan

(4) ehtimollarni ko’paytirish qoidasi istalgan sondagi hodisalar uchun quyidagicha umumlashtiriladi:

, (5)
ya’ni bir necha hodisalar ko’paytmasining ehtimoli ulardan birining ehtimoli bilan qolganlarining shartli ehtimollari ko’paytmasiga teng bo’ladi, bunda har bir shartli ehtimol o’zidan oldingi barcha hodisalar ro’y berishi shartida hisoblanadi.
(5) formula matematik induksiya metodi bilan isbotlanadi.
4-misol. Oldingi mashg’ulotdagi 4-misolni (5) formula bilan eching.
Y e c h i s h. “matematika” so’zi hosil bo’lishi hodisasi bo’lsin. Bu hodisa birinchi harf M (10 dan 2 imkoniyat), ikkinchi harf A (9 dan 3 imkoniyat),…,oxirgi harf A (1 dan 1 imkoniyat) bo’lganida ro’y beradi.
Demak,

Shu kabi “KATET” so’zi hosil bo’lishi hodisasining ehtimolini topamiz: